두 변수의 로그 사이에 선형 관계가 있다는 직관적 인 의미는 무엇입니까?

20

서로에 대해 플롯 할 때 많은 상관 관계를 보이지 않는 두 개의 변수가 있지만 각 변수의 로그를 다른 로그에 다시 그릴 때 매우 명확한 선형 관계가 있습니다.

그래서 나는 유형의 모델로 끝날 것입니다 :

\log (Y) = a \log (X) + b

$\log(Y) = a \log(X) + b$ . 수학적으로 훌륭하지만 정규 선형 모델의 설명 값이없는 것 같습니다.

그러한 모델을 어떻게 해석 할 수 있습니까?

regression correlation log

— 아카 이케의 아이들
소스

5

기존 답변에 추가 할 실질적인 것은 없지만 결과와 예측의 로그는 탄력적입니다. 해당 용어를 검색하면 관계를 해석하는 데 도움이되는 좋은 자료를 찾아야합니다.

— Upper_Case-Stop Harming Monica

종속 변수가 log (y)이고 독립 변수가 log (x) 인 로그-로그 모델의 해석은 다음과 같습니다.

% Δ = β_{1} % Δ x

$\%Δ=β_1\%Δx$ .

— 밥

3

보완 로그-로그 링크는 결과가 이진 (위험 모델)이고 노출이 누적되는 경우 (예 : 성 파트너 수 vs HIV 감염) 이상적인 GLM 사양입니다. jstor.org/stable/2532454

— AdamO

2

@Alexis 곡선을 오버레이하면 고정 점을 볼 수 있습니다. curve(exp(-exp(x)), from=-5, to=5)vs을 사용해보십시오 curve(plogis(x), from=-5, to=5). 오목 함이 가속화됩니다. 단일 발생으로 인한 이벤트 위험이 이면 두 번째 이벤트 이후의 위험은 등 이어야하며 , 이는 확률 적 형태 로짓이 포착하지 않습니다. 노출이 높을수록 로지스틱 회귀 분석 결과가 더 극적으로 왜곡 될 수 있습니다 (사전 확률 규칙에 따라 거짓). 어떤 시뮬레이션은 이것을 보여줄 것입니다.

p

$p$

1 - (1 - p)^{2}

$1-(1-p)^2$

— AdamO

1

@AdamO 아마도 그러한 차이를 만들지 않는 상황을 포함하여 세 가지 중에서 특정한 이분법적인 결과 링크를 선택하는 방법에 동기를 부여하는 그러한 시뮬레이션을 통합 한 교육학 논문이있을 것입니다.

— Alexis

27

방정식의 양변을 지수로 나타내면 잠재적 인 관계가 생겨 일부 데이터에 적합 할 수 있습니다.

\log (Y) = a \log (X) + b

$\log(Y) = a\log(X) + b$

\exp (\log (Y)) = \exp (a \log (X) + b)

$\exp(\log(Y)) = \exp(a \log(X) + b)$

Y = e^{b} \cdot X^{a}

$Y = e^b\cdot X^a$

이후 양의 값을 취할 수 단지 파라미터이며,이 모델은 등가이다 : $e^b$

Y = c \cdot X^{a}

$Y=c \cdot X^a$

모델 표현식에는 오류 항이 포함되어야하며 이러한 변수 변경은 흥미로운 영향을 미칩니다.

\log (Y) = a \log (X) + b + ϵ

$\log(Y) = a \log(X) + b + \epsilon$

Y = e^{b} \cdot X^{a} \cdot \exp (ϵ)

$Y = e^b\cdot X^a\cdot \exp(\epsilon)$

즉, OLS 조건 (정규 분산을 갖는 정규 분포 오차)을 따르는 가산 성 오차가있는 모형은 로그가 상수 분산이있는 정규 분포를 따르는 곱셈 오차가있는 잠재적 모형과 같습니다.

— 페레
소스

3

OP는이 배포판의 이름이 log-normal이라는 것을 알고 싶어 할 것입니다. en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution

— gardenhead

2

젠슨 불평등의 영향은 어떻습니까? 일반적으로 볼록한 g의 경우,

E [g (X)] \geq g (E [X])

$E[g(X)]≥g(E[X])$

— 통계

14

모형 $\log(Y)=a\log(X)+b$ 를 사용하여 총 차이를 계산하면 다음과 같은 결과가 나타납니다.

\frac{1}{Y} d Y = a \frac{1}{X} d X

$\frac{1}YdY=a\frac{1}XdX$

를 산출하는

\frac{d Y}{d X} \frac{X}{Y} = a

$\frac{dY}{dX}\frac{X}{Y}=a$

그러므로, 계수의 간단한 해석 $a$ 변경 률 것이다 $Y$ 의 변화율에 대한 $X$ . 이는 또한 가변 $Y$ 가 의 성장 속도의 일정한 분율 ( $a$ ) 에서 성장 한다는 것을 의미한다 . $X$

— RScrlli
소스

따라서 로그-로그 플롯이 선형이라면, 지속적인 성장률을 의미합니까?

— Dimitriy V. Masterov

실제로는 아니지만

의 성장률은

경우에만 일정합니다 .

Y

$Y$

a = 0

$a=0$

— RScrlli

시간이 지남에 따라 x의 성장에 대한 성장률.

— Dimitriy V. Masterov

재정렬은 도움이되지 않습니다. 제거하겠습니다

— Aksakal

1

@ DimitriyV.Masterov Ok,

가

에서 선형 이기 때문에 변수

가

의 성장 속도의 일정한 비율로 성장 한다는 것을 의미합니다 . 당신에 따르면 내 대답에 문제가 있습니까?

\log (Y)

$\log(Y)$

\log (X)

$\log(X)$

Y

$Y$

X

$X$

— RScrlli

7

직관적으로 $\log$ 는 변수 의 크기 순서를 제공 하므로 두 변수의 크기 순서가 선형으로 관련되어 있기 때문에 관계를 볼 수 있습니다. 예를 들어, 예측자를 하나의 차수만큼 증가시키는 것은 응답의 세 차수의 증가와 관련 될 수있다.

로그-로그 플롯을 사용하여 플로팅 할 때 선형 관계를 보길 바랍니다. 이 질문 의 예를 사용 하여 선형 모델 가정을 확인할 수 있습니다.

로그-로그

— qwr
소스

3

직관적이지 않은 개념에 대한 직관적 인 답변은 +1입니다. 그러나 포함한 이미지는 예측 변수 전체의 일정한 오차 분산을 명확하게 위반합니다.

— Frans Rodenburg

1

정답은 맞지만 저작자 표시는 잘못되었습니다. 이미지는 Google 이미지에 의한 것이 아니라 적어도 이미지가있는 웹 페이지에 기인 한 것이지 Google 이미지를 클릭하면 찾을 수 있습니다.

— Pere

@Pere 불행히도 이미지의 원본을 찾을 수 없습니다 (적어도 역 이미지 검색 사용)

— qwr

비록 그것은 사이트가 다운되었고 대부분의 페이지가 홈페이지 와는 별도로 웹 아카이브에 있지는 않지만 원래 diagramss.us 에서 온 것 같습니다

— Henry

4

@Rscrill의 답변을 실제 이산 데이터와 조정하려면 다음을 고려하십시오.

\log (Y_{t}) = a \log (X_{t}) + b, \log (Y_{t - 1}) = a \log (X_{t - 1}) + b

$\log(Y_t) = a\log(X_t) + b,\;\;\; \log(Y_{t-1}) = a\log(X_{t-1}) + b$

⟹ \log (Y_{t}) - \log (Y_{t - 1}) = a [\log (X_{t}) - \log (X_{t - 1})]

$\implies \log(Y_t) - \log(Y_{t-1}) = a\left[\log(X_t)-\log(X_{t-1})\right]$

그러나

\log (Y_{t}) - \log (Y_{t - 1}) = \log (\frac{Y_{t}}{Y_{t - 1}}) \equiv \log (\frac{Y_{t - 1} + Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}) = \log (1 + \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}})

$\log(Y_t) - \log(Y_{t-1}) = \log\left(\frac{Y_t}{Y_{t-1}}\right) \equiv \log\left(\frac{Y_{t-1}+\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right) = \log\left(1+\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)$

$\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$ $Y$ $t-1$ $t$ $Y_t$ $g_{Y_{t}}$ $0.1$

\log (1 + \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}) \approx \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}} = g_{Y_{t}}

$\log\left(1+\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right) \approx \frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}=g_{Y_{t}}$

따라서 우리는

g_{Y_{t}} \approx a g_{X_{t}}

$g_{Y_{t}}\approx ag_{X_{t}}$

실증 연구에서 @Rscrill의 이론적 처리를 검증합니다.

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

1

이것은 아마도 수학자가 직관적 이라고 부르는 것입니다 :)

— Richard Hardy

2

로그 사이의 선형 관계는 전력 법 의존성에 해당합니다.

와이 \sim {엑스}^{α}

$Y \sim X^\alpha$ 물리학에서 그러한 행동은 시스템이 스케일이 없거나 스케일이 변하지 않음을 의미 합니다. 예를 들어

X

$X$ 거리 또는 시간입니다. 이것은

X

$X$ 특징적인 길이나 시간 척도로 특징 지을 수 없습니다 (지수 적 붕괴와 반대) 결과적으로 이러한 시스템은 장거리 의존성을 나타냅니다.

Y

$Y$ 에

X

$X$ .

— 이타 마르
소스