여부를 테스트하는 방법

평균 인 세 개의 독립적 인 그룹이 있다고 가정 합니다. $\mu_1,~ \mu_2,~\mu_3$

각 그룹의 샘플을 사용하여 인지 여부를 테스트하려면 어떻게 해야합니까? $\mu_1 < \mu_2 <\mu_3$ $n_1,~n_2,~n_3$

자세한 계산이 아닌 일반적인 방법론을 알고 싶습니다. 가설 과 을 설정하는 방법을 알 수 없었습니다 . $H_0$ $H_1$

hypothesis-testing multiple-comparisons isotonic

— 456 123
소스

이는 순서가 제한된 통계적 추론 의 경우입니다 . 주제에 관한 책 이 있습니다 .

— kjetil b halvorsen

Barlow, Bartholemew, Bremner 및 Brunk 통계 추론 (1973)에 따른 오래된 책도있다 (그 이후로 약간의 발전이 있었음). 비모수 적 테스트가 진행되는 한 Jonckheere-Terpstra 테스트 (예 : Conover 참조)와 Match 테스트 중 하나 (Nave and Worthington의 책 사용)가 있습니다. 일반적으로 등가 널과 정렬 된 대안을 작성합니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

대답이 비슷한 비슷한 Q

— kjetil b halvorsen

여기에 사람이

n_{i}

$n_i$ 그룹 샘플

i,

$i,$ 그 크기의 샘플이 있습니다.

n_{i}

$n_i$ 그룹에서

i .

$i. \qquad$

— Michael Hardy

답변:

통계에서 "X가 참"인지 여부를 테스트 할 수 없습니다. 귀무 가설이 거짓이라는 증거 만 찾으려고 노력할 수 있습니다.

귀무 가설이 있다고 가정 해 봅시다.

H_{0}^{1} : μ_{1} < μ_{2} < μ_{삼} .

$H_0^1: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3.$ 벡터를 추정하는 방법이 있다고 가정합시다

μ = (μ_{1}, μ_{2}, μ_{3})^{'}

$\mu = (\mu_1, \mu_2, \mu_3)'$ . 사물을 추정하려면 추정자가 있다고 가정하십시오.

엑스 \sim 엔 (μ, Σ),

$x \sim N(\mu, \Sigma),$ 어디

Σ

$\Sigma$ 이다

3 \times 3

$3 \times 3$ 공변량 행렬. 귀무 가설을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

ㅏ μ < 0,

$A \mu < 0,$ 어디

ㅏ = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{matrix}] .

$A = \begin{bmatrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{bmatrix}.$ 이것은 귀무 가설이 벡터에 대한 불평등 제한으로 표현 될 수 있음을 보여줍니다.

A μ

$A \mu$ . 자연 추정량

A μ

$A\mu$ ~에 의해 주어진다

ㅏ 엑스 \sim 엔 (ㅏ μ, ㅏ Σ ㅏ^{'}) .

$A x \sim N(A\mu, A\Sigma A').$ 이제 다음에 주어진 법선 벡터에 대한 불평등 제약 조건을 테스트하기 위해 프레임 워크를 사용할 수 있습니다.

아키오 쿠도 (1963). “단면 테스트의 다변량 아날로그”. 에서 : Biometrika 50.3 / 4, 403–418 쪽.

이 가정은 정규성 가정이 대략적으로 ( "무증상") 유지되는 경우에도 작동합니다. 예를 들어 그룹에서 표본 평균을 그릴 수있는 경우 작동합니다. 당신이 크기의 샘플을 그리는 경우 $n_1, n_2, n_3$ 그룹에서 독립적으로 그릴 수 있다면 $\Sigma$ 대각선이있는 대각선 행렬

(σ_{1}^{2} / 엔_{1}, σ_{2}^{2} / 엔_{2}, σ_{삼}^{2} / 엔_{삼})^{'},

$(\sigma_1^2/n_1, \sigma_2^2/n_2, \sigma_3^2/n_3)',$ 어디

σ_{k}^{2}

$\sigma_k^2$ 그룹의 분산입니다

k = 1, 2, 3

$k = 1, 2, 3$ . 응용 프로그램에서 검정의 속성을 변경하지 않고 알 수없는 모집단 분산 대신 표본 분산을 사용할 수 있습니다.

반면에 당신의 대안 가설은

H_{1}^{2} : μ_{1} < μ_{2} < μ_{삼}

$H_1^2: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3$ 귀무 가설은

H_{0}^{2} : 아니 H_{1} .

$H_0^2: \text{NOT $H_1$}.$ 이것은 매우 작동하지 않습니다. 새로운 대안 가설은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

H_{1} : A μ < 0

$H_1: A\mu <0$ 그래서

H_{0}^{2} : 존재한다 케이 = 1, 2 그런 (ㅏ μ)_{케이} \geq 0 .

$H_0^2: \text{there exists a $k=1,2$ such that $(A\mu)_k \geq 0$}.$ 이에 대한 전문 테스트가 있는지는 모르겠지만 연속 테스트를 기반으로 전략을 시도해 볼 수 있습니다. 널에 대한 증거를 찾으려고 노력하십시오. 먼저 테스트 할 수 있습니다

H_{0, 1}^{2} : (ㅏ μ)_{1} \geq 0.

$H_{0,1}^2: (A\mu)_1 \geq 0.$ 그리고

H_{0, 2}^{2} : (ㅏ μ)_{2} \geq 0.

$H_{0,2}^2: (A\mu)_2 \geq 0.$ 두 번 거부하면 다음과 같은 증거를 발견 할 수 있습니다

H_{0}

$H_0$ 거짓이고 당신은 거부합니다

H_{0}

$H_0$ . 그렇지 않으면 거절하지 않습니다.

H_{0}

$H_0$ . 여러 번 테스트하기 때문에 하위 테스트의 명목 레벨을 조정해야합니다. Bonferroni 보정을 사용하거나 정확한 보정을 알아낼 수 있습니다 (알고 있기 때문에)

Σ

$\Sigma$ ).

테스트를 구성하는 또 다른 방법 $H_0^2$ 참고

H_{0}^{2} : \underset{케이 = 1, 2}{최대} (ㅏ μ)_{케이} \geq 0.

$H_0^2: \max_{k=1,2} (A\mu)_k \geq 0.$ 이것은 사용을 의미합니다

max A x

$\max Ax$ 테스트 통계로. 이 테스트는 null 하에서 비표준 분포를 가지지 만 적절한 임계 값은 여전히 계산하기가 쉬워야합니다.

— 안드레아스 드 m 스키
소스

공정하게, 나는 대답을 편집했다.

— Andreas Dzemski

좋은 답변입니다 (+1). 조금 더 향상시키기 위해 교체를 권유 할 수 있습니다

x

$x$ 와

\hat{μ}

$\hat{\mu}$ 이 표기법이이 객체가 추정 자라는 의도를 반영하도록

μ

$\mu$ .

— 벤-복원 모니카

@ andreas-dzemski가 제공 한 답변은 데이터가 정상적으로 분포되어 있음을 알고있는 경우에만 정확합니다.

분포를 모르는 경우 비모수 테스트를 실행하는 것이 좋습니다. 이 경우 가장 간단한 순열 테스트를 실행하는 것 같습니다. 이 주제에 관한 책이며, 이 멋진 온라인 설명이다. 아래에는이 테스트를 계산하기 위해 R 코드가 포함되어 있습니다.

# some test data
D <- data.frame(group1=c(3,6,2,2,3,9,3,4,2,5), group2=c(5,3,10,1,10,2,4,4,2,2), group3=c(8,0,1,5,10,7,3,4,8,1))

# sample with replacement
resample <- function(X) sample(X, replace=TRUE)

# return true if mu1 < mu2 < mu3
test     <- function(mu1, mu2, mu3) (mu1 < mu2) & (mu2 < mu3)

# resampling test that returns the probability of observing the relationship
mean(replicate(1000, test(mean(resample(D$group1)), mean(resample(D$group2)), mean(resample(D$group3)))))

— 스카라무슈
소스