'B에 A가 주어질 가능성이 높으면'A에 B가 주어 졌을 가능성이 더 높습니다

나는 더 분명한 직관을 얻으려고 노력하고 있습니다. $A$ 만든다 $B$ 그때보다 $B$ 만든다 $A$ 더 가능성이 ""즉

허락하다 $n(S)$ 공간의 크기를 나타냅니다 $A$ 과 $B$ 그렇다면

청구: $P(B|A)>P(B)$ 그래서 $n(AB)/n(A) > n(B)/n(S)$

그래서 $n(AB)/n(B) > n(A)/n(S)$

어느 $P(A|B)>P(A)$

나는 수학을 이해하지만 왜 이것이 직관적 인 의미가 있습니까?

직감적으로 Peter Flom과 같은 실제 사례는 일부 사람들에게 가장 도움이됩니다. 사람들에게 일반적으로 도움이되는 다른 것은 사진입니다. 따라서 대부분의 기지를 덮기 위해 사진을 찍겠습니다.

여기에있는 것은 확률을 보여주는 두 가지 매우 기본적인 다이어그램입니다. 첫 번째는 Red와 Plain이라고하는 두 개의 독립적 인 술어를 보여줍니다. 선이 정렬되어 있기 때문에 독립적입니다. 빨간색 인 일반 영역의 비율은 빨간색 인 stripy area의 비율과 동일하며 빨간색의 총 비율과 동일합니다.

두 번째 이미지에는 비 독립 분포가 있습니다. 특히, 빨간색의 사실을 변경하지 않고 일반 빨간색 영역의 일부를 stripy 영역으로 확장했습니다. 분명히, 적색이되면 평범해질 가능성이 높아집니다.

한편, 그 이미지의 평범한면을보십시오. 분명히 빨간색 인 일반 영역의 비율이 빨간색 인 전체 이미지의 비율보다 큽니다. 그것은 평원 지역에 더 많은 지역이 주어졌고 모든 지역이 빨간색이기 때문입니다.

따라서 빨간색은 평범한 것이되고 일반은 빨간색이 될 가능성이 높습니다.

실제로 여기서 무슨 일이 일어나고 있습니까? A는 A와 B가 모두 포함 된 영역이 독립적 인 경우 예측 된 것보다 큰 경우 B에 대한 증거입니다 (즉, A가 B의 가능성을 높입니다). A와 B의 교점이 B와 A의 교점과 동일하기 때문에 B가 A에 대한 증거임을 암시합니다.

주의 할 점 : 위의 주장은 매우 대칭적인 것처럼 보이지만 양방향의 증거의 강도가 같은 경우는 아닙니다. 예를 들어,이 세 번째 이미지를 고려하십시오. 동일한 일이 일어났다 : 평범한 빨강은 이전에 줄무늬 빨강에 속한 영토를 먹었다. 실제로, 그것은 일을 완전히 끝냈습니다!

빨간 점이 없으면 점이 선명함을 보장한다는 점에 유의하십시오. 그러나 평평한 점은 여전히 ​​녹색 영역이 남아 있기 때문에 발적을 보장하지는 않습니다. 그럼에도 불구하고 상자의 평범한 점은 그것이 붉어 질 가능성을 증가시키고, 적색의 점은 평범 할 가능성을 증가시킵니다. 두 방향 모두 같은 양이 아니라 더 가능성이 높습니다.

나는 그것을 넣는 또 다른 수학적 방법이 도움이 될 것이라고 생각합니다. 베이 즈 규칙의 맥락에서 주장을 고려하십시오.

주장 : $P(B|A)>P(B)$ 그때 $P(A|B) > P(A)$

베이 즈의 규칙 :

가정 $P(B)$0이 아닙니다. 그러므로

만약 $P(B|A)>P(B)$그런 다음 $\frac{P(B|A)}{P(B)} > 1$.

그때 $\frac{P(A|B)}{P(A)} > 1$, 그래서 $P(A|B) > P(A)$.

이것은 주장의 가능성과 더욱 강력한 결론을 증명합니다. 각각의 가능성 비율이 같아야합니다.

글쎄, 나는 그 질문에서 "makes"라는 단어를 좋아하지 않는다. 그것은 어떤 종류의 인과 관계를 의미하며, 인과 관계는 보통 반전되지 않습니다.

그러나 당신은 직감을 요구했습니다. 그래서 나는 직감을 자극하는 것처럼 보이기 때문에 몇 가지 예를 생각해 볼 것입니다. 원하는 것을 선택하십시오 :

어떤 사람이 여성이라면 그 사람이 민주당에 투표했을 가능성이 높습니다.
한 사람이 민주당에 투표하면 그 사람이 여성 일 가능성이 높습니다.

남자가 프로 농구 센터 인 경우 키가 2 미터 이상일 가능성이 높습니다.
키가 2 미터가 넘는 사람은 농구 센터 일 가능성이 높습니다.

섭씨 40도를 초과하면 정전이 발생할 가능성이 높습니다.
정전이 발생한 경우 40도 이상일 가능성이 큽니다.

등등.

@Dasherman에 의해 대답에 추가하려면 어떻게 두 개의 이벤트가하는 말을 의미 할 수 관련 , 아니면 관련 또는 상관 관계 ? 어쩌면 우리는 정의에 대해 공동 확률을 비교할 수 있습니다 (가정$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(A)>0, \P(B)>0$) :

하지만 이제 조건부 확률의 정의를 사용하여 $\frac{\P(A \cap B)}{\P(A) \P(B)}>1$ 쉬운 결과이다 $\P(B \mid A) > \P(B)$. 그러나$\frac{\P(A \cap B)}{\P(A) \P(B)}$ 완전히 대칭이다 $A$ 과 $B$ (심볼의 모든 발생을 교환 $A$ 와 $B$ 그 반대의 경우도 마찬가지입니다) $\P(A \mid B) > \P(A)$. 결과가 나옵니다. 그래서 당신이 요구하는 직감은$\eta(A,B)$ 대칭이다 $A$ 과 $B$.

@gunes의 대답은 실용적인 예를 제공했으며 다른 사람들도 같은 방식으로 쉽게 만들 수 있습니다.

A가 B의 가능성을 높이면 사건과 관련이 있다는 의미입니다. 이 관계는 두 가지 방식으로 작동합니다.

A가 B의 가능성을 높이면 이는 A와 B가 함께 일어나는 경향이 있음을 의미합니다. 이것은 B가 A를 더 잘 만든다는 것을 의미합니다.

A가 B의 가능성을 높이면 A는 B가 자신에 대해 추론 할 수있는 중요한 정보를 갖습니다. 그것이 동일한 금액에 기여하지 않을 수도 있음에도 불구하고, 그 정보는 다른 방식으로 손실되지 않습니다. 결국, 우리는 그들의 발생이 서로를 지원하는 두 가지 사건이 있습니다. 나는 A의 발생이 B의 가능성을 증가시키고 B의 발생이 A의 가능성을 감소시키는 시나리오를 상상할 수 없다. 젖었다는 것은 비가 온다는 의미는 아니지만 기회를 줄이지는 않습니다.

우발 상황 테이블을 상상하여 수학을보다 직관적으로 만들 수 있습니다.

$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &a+b+c+d & a+c & b+d \\\hline B& a+b& a & b \\ \lnot B & c+d& c & d \\ \end{array} \end{array}$

• 언제 $A$ 과 $B$ 독립적 확률이고 공동 확률은 한계 확률의 곱입니다

  $$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &1 & x & 1-x \\\hline B& y& a=xy & b=(1-x)y \\ \lnot B & 1-y& c=x (1-y) & d=(1-x)(1-y)\\ \end{array} \end{array}$$ 이 경우 비슷한 한계 및 조건부 확률이 있습니다. $P (A) = P (A|B)$ 과 $P (B)=P (B|A)$.

• 독립성이 없으면 매개 변수를 남기는 것으로 볼 수 있습니다. $a,b,c,d$ 여백의 제품과 동일하지만 $\pm z$

  $$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &1 & x & 1-x \\\hline B& y& a+z & b-z \\ \lnot B & 1-y& c-z & d+z\\ \end{array} \end{array}$$

  당신은 이것을 볼 수 있습니다 $z$ 한계 확률과 조건부 확률의 평등을 깨거나 한계 확률의 곱인 공동 확률과의 관계를 어기는 것으로 간주합니다.

  자,이 관점에서 (이러한 평등을 깨는 것)이 깨짐은 두 가지 방법으로 발생합니다. $P(A|B) \neq P(A)$ 과 $P(B|A) \neq P(B)$. 불평등은 두 경우 모두에 해당합니다$>$ 언제 $z$ 긍정적이고 $<$ 언제 $z$ 부정적이다.

연결을 볼 수 있습니다 $P(A|B) > P(A)$ 그때 $P(B|A) > P(B)$ 공동 확률을 통해 $P(B,A) > P (A) P (B)$.

A와 B가 종종 함께 발생하는 경우 (공동 확률이 한계 확률의 곱보다 높음) 하나를 관찰하면 다른 조건의 (조건부) 확률이 높아집니다.

사건의 사후 확률 확률을 다음과 같이 표시한다고 가정합니다.

그런 다음 베이 즈 정리의 다른 표현 (이 관련 게시물 참조 )은 다음과 같습니다.

사후 확률 확률 비율은 컨디셔닝 이벤트의 발생으로 인해 인수 이벤트가 발생할 가능성이 있는지 여부를 나타냅니다 (그리고 얼마나 많거나 적은 가능성이 있는지). 위의 베이 즈 정리 형식은 사후 확률 확률이 변수에서 대칭이라는 것을 보여줍니다.$^\dagger$ 예를 들어 $B$ 만든다 $A$가능성은보다 선험적 후 관찰,$A$ 만든다 $B$선험적 것보다 더 가능성이 높습니다 .

$^\dagger$이는 확률 규칙이므로 인과 적 으로 해석해서는 안됩니다 . 이 대칭은 수동적 관찰 에 대한 확률 적 의미에서 사실입니다. 그러나 시스템 변경에 개입하는 경우에는 사실이 아닙니다.$A$ 또는 $B$. 후자의 경우 인과 적 작업을 사용해야합니다 (예 :$\text{do}$ 컨디셔닝 변수의 변경 효과를 찾습니다.

샘은 여자이고 킴은 남자이며 두 사람 중 하나는 화장을하고 다른 사람은 입지 않는다는 말을 들었습니다. 화장을하는 사람은 누구입니까?

당신은 샘이 화장을하고 김은 그렇지 않다고 들었습니다. 둘 중 하나는 남자이고 하나는 여자입니다. 여자는 누구일까요?

인과 관계 사이에 약간의 혼동이있는 것 같습니다. 실제로 다음과 같은 예에서 볼 수 있듯이 질문 문은 원인에 대해 거짓입니다.

• 개가 스카프를 쓰고 있다면 길 들여진 동물입니다.

다음은 사실이 아닙니다.

• 길 들여진 동물이 스카프를 쓴다는 것은 개라는 것을 암시합니다.
• 길 들여진 개를 보면 스카프를 쓰고 있다는 의미입니다.

그러나 확률 (상관)을 생각하고 있다면 그것은 사실입니다.

• 스카프를 착용 한 개는 스카프를 착용하지 않은 개 (또는 그 문제의 일반적인 동물)보다 길 들여진 동물 일 가능성이 훨씬 높습니다

다음은 사실입니다 :

• 스카프를 쓴 길 들여진 동물은 다른 동물보다 개일 가능성이 높습니다.
• 길 들여진 개는 비위생 개보다 스카프를 착용 할 가능성이 높습니다.

이것이 직관적이지 않은 경우 개미, 개 및 고양이를 포함한 동물 수영장을 생각하십시오. 개와 고양이는 길들여지고 스카프를 입을 수 있으며 개미도 마찬가지입니다.

1. 수영장에서 길 들여진 동물의 확률을 높이면 스카프를 착용 한 동물을 볼 확률도 높아집니다.
2. 고양이 나 강아지의 확률을 높이면 스카프를 착용 한 동물을 볼 확률도 높아집니다.

길 들여진 것은 동물과 스카프를 착용하는 "비밀"연결이며, "비밀"연결은 두 가지 방식으로 영향을 미칩니다.

편집 : 의견에서 귀하의 질문에 대한 예를 제시하십시오.

동물이 고양이 나 개인 세상을 상상해보십시오. 길들여 지거나하지 않을 수 있습니다. 스카프를 착용 할 수 있습니다. 총 동물 100 마리, 개 50 마리, 고양이 50 마리가 있다고 상상해보십시오.

이제 진술 A를 다음과 같이 고려하십시오. " 스카프를 착용 한 개는 스카프를 착용하지 않은 개보다 길 들여진 동물 일 가능성이 3 ".

A가 사실이 아니라면, 세계가 개 50 마리, 그 중 25 마리는 길 들여진 것 (10 마리는 스카프), 25 마리는 야생 (10 마리는 스카프)로 만들어 질 수 있습니다. 고양이와 같은 통계.

그러면이 세상에서 길 들여진 동물을 보았을 때, 개가 될 확률은 50 % (25/50, 길들인 동물 중 25 마리)와 40 % 의 스카프를 가질 것입니다 (20/50, 10 개) 가축 50 마리 중 10 마리의 고양이).

그러나 A가 사실이라면, 개가 50 마리, 그 중 25 마리는 길 들여진 것 ( 15 마리는 스카프 ), 25 마리는 야생 ( 5 마리는 스카프 ) 인 세계가 있습니다. 고양이는 오래된 통계를 유지합니다 : 50 마리의 고양이, 25 마리는 길 들여진 것 (10 개는 스카프를 착용), 25 마리는 야생 (10 마리는 스카프를 착용).

당신이이 세상에서 길 들여진 동물을 본 경우, 그것은 (25 개 50 개 가축 중 25/50) 개되는 동일한 50 %의 확률로 것이지만 것 50 % (25/50, 15 개과 가축 50 마리 중 10 마리).

보시다시피, A가 사실이라고 말하면, 세계에서 스카프를 쓴 가축 동물을 본다면 다른 동물보다이 개 (60 % 또는 15/25) 일 가능성이 높습니다 고양이, 40 % 또는 10/25).

인과 관계 사이에 혼동이 있습니다. 정확한 반대의 경우를 예로 들어 보겠습니다.

어떤 사람들은 부자이고 어떤 사람들은 가난합니다. 일부 가난한 사람들에게는 혜택이 주어 지므로 덜 가난합니다. 그러나 혜택을받는 사람들은 혜택이 있어도 여전히 가난 할 가능성이 높습니다.

혜택이 주어지면 영화 표를 감당할 가능성이 높아집니다. 인과성을 의미하는 "보다 가능성이 높습니다". 그러나 영화 표를 감당할 수 있다면, 혜택을받을만큼 가난한 사람들 중에있을 가능성이 줄어 듭니다. 따라서 영화 표를 감당할 수 있다면, 혜택을받을 가능성이 줄어 듭니다.

더 강한 진술을 보면 직감이 분명해집니다.

A가 B를 암시하면 B는 A를 더 가능성이 높습니다.

Implication:
  A true  -> B true
  A false -> B true or false
Reverse implication:
  B true  -> A true or false
  B false -> A false

B가 거짓이면 A도 마찬가지이므로 B도 참인 경우 A가 사실 일 가능성이 높습니다. 동일한 논리가 더 약한 문장에 적용됩니다.

A가 B의 가능성을 높이면 B가 A의 가능성을 높입니다.

Weak implication:
  A true  -> B true or (unlikely) false
  A false -> B true or false
Reverse weak implication:
  B true  -> A true or false
  B false -> A false or (unlikely) true

Alice가 평균보다 자유 투척 률이 높다고 가정하십시오. 그러면 앨리스가 시도한 샷이 성공할 확률은 일반적으로 샷이 성공할 확률보다 큽니다.$P(successful|Alice)>P(successful)$. 또한 성공적인 샷에 대한 Alice의 비율이 일반적으로 샷의 비율보다 크다는 결론을 내릴 수 있습니다.$P(Alice|successful)>P(Alice)$.

또는 해당 학군에 10 %의 학생이 있지만 straight-A 학생들의 15 %가있는 학교가 있다고 가정하십시오. 그런 다음이 학교에서 스트레이트 A 학생 인 학생의 비율은 학군 전체 비율보다 높습니다.

그것을 보는 또 다른 방법 : B가 주어진다면 A가 더 가능성이 높습니다. $P(A\&B)>P(A)P(B)$그리고 그것은 완전히 대칭입니다 $A$ 과 $B$.