지수 가족의 장점 : 왜 우리가 그것을 연구하고 사용해야합니까?

그래서 저는 추론을 공부하고 있습니다. 누군가가 지수 가족의 장점을 열거 할 수 있기를 바랍니다. 지수 패밀리로, 나는 f ( x | θ ) = h ( x ) exp { η ( θ ) T ( x ) − B ( θ ) } 로 주어진 분포를 의미합니다.

지원은 매개 변수 $\theta$ 에 의존하지 않습니다 . 내가 찾은 몇 가지 장점은 다음과 같습니다.

(a) 다양한 분포를 포함합니다.

(b) Neyman-Fisher 정리에 따라 자연스럽게 충분한 통계량 $T(x)$ 를 제공합니다.

(c) $T(x)$ 의 모멘트 생성 함수에 대한 좋은 공식을 제공 할 수 있습니다 .

(d) 응답의 조건부 분포에서 (링크 기능을 통해) 응답과 예측 변수 간의 관계를 쉽게 분리 할 수 ​​있습니다.

누구든지 다른 장점을 제공 할 수 있습니까?

... 어떻게 공부하고 사용해야합니까?

나는 당신의 장점 목록이 자신의 질문에 효과적으로 대답한다고 생각하지만이 주제를 설명 할 수있는 메타 수학 주석을 제공하겠습니다. 일반적으로, 수학자들은 개념과 결과를 최대한 활용할 수 있는 한도 내에서 유용성의 한계 까지 일반화하는 것을 좋아합니다.. 즉, 수학자가 개념을 개발하고 하나 이상의 유용한 이론이 해당 개념에 적용되는 것을 발견하면, 더 일반화하여 결과를 적용 할 수없는 시점에 도달 할 때까지 일반적으로 개념과 결과를 더 일반화하려고합니다. 더 이상 유용하지 않습니다. 목록에서 알 수 있듯이 지수 패밀리에는 여러 가지 유용한 정리가 첨부되어 있으며 광범위한 분포를 포함합니다. 이것은 가치있는 학습 대상이되고 실제로 유용한 수학 수업으로 만들기에 충분합니다.

누구든지 다른 장점을 제공 할 수 있습니까?

이 클래스는 베이지안 분석에서 다양한 좋은 특성을 가지고 있습니다. 특히, 지수 패밀리 분포는 항상 공액 사전을 가지며, 결과적인 후방 예측 분포는 간단한 형태를 갖는다. 이것은 베이지안 통계에서 매우 유용한 분포 클래스입니다. 실제로, 지수 패밀리의 모든 분포 패밀리를 포함하여 매우 높은 수준의 일반성에서 켤레 사전을 사용하여 베이지안 분석을 수행 할 수 있습니다.

지수 패밀리에 대한 가장 강력한 동기는 측정치가 주어진 최소 가정 분포 라는 것 입니다. 측정 값이 평균 및 분산으로 요약 된 실제 값 센서가있는 경우 관측 값에 대한 최소 가정은 측정 값이 정규 분포되어 있다는 것입니다. 각 지수 패밀리는 유사한 가정 세트의 결과입니다.

Jaynes는 이러한 최대 엔트로피 원칙을 피합니다.

“최대 엔트로피 분포는 그것이 다르게 생각할 이유가 없었던 부정적인 정보 대신 누락 된 정보와 관련하여 최대 비 커밋적인 것으로 고유하게 결정된다는 긍정적 인 이유 때문에 주장 될 수있다. 따라서 엔트로피의 개념은 선택의 빠진 기준을 제공합니다…”