그 상황

일부 연구원들은 당신을 잠들게하려고합니다. 공정한 동전의 비밀 던지기에 따라, 그들은 당신을 한 번 (머리) 또는 두 번 (꼬리) 잠깐 깨 웁니다. 깨어 난 후에, 그들은 당신을 깨우는 것을 잊게하는 약으로 다시 잠들게 할 것입니다. 당신이 깨어 때, 어느 정도를해야합니다 당신은 동전 던지기의 결과가 머리라고 생각?

(좋아, 아마도 당신은이 실험의 주제가되고 싶지 않다! 대신 잠자는 숲속의 미녀 (SB)가 그것에 동의한다고 가정하자. 백 년 동안 잠을 자면 어쨌든 하루나 이틀 더 무엇입니까?)

[ Maxfield Parrish 삽화의 세부 사항 .]

당신은 반 또는 제삼자입니까?

절반 위치. 단순한! 동전은 공정하고 SB는 그것을 알고 있으므로 절반의 가능성이 있다고 생각해야합니다.

Thirder 포지션. 이 실험은 여러 번 반복되었으므로 동전은 SB가 깨어있는 시간의 1/3에 불과합니다. 머리에 대한 그녀의 확률은 1/3입니다.

제삼자에게 문제가있다

이것에 관해 글을 쓴 사람은 전부는 아니지만 대부분의 사람들입니다. 그러나:

• 일요일 저녁, SB가 잠들기 직전에, 그녀는 머리의 기회가 절반이라고 믿어야합니다. 그것이 공정한 동전이라는 의미입니다.

• SB가 깨어날 때마다, 그녀는 일요일 밤에 몰랐던 것을 전혀 배웠습니다. 그러므로 그녀는 머리에 대한 그녀의 믿음이 이제 3 분의 1이 아니라 3 분의 1이 아니라고 말하면서 어떤 합리적인 주장을 할 수 있습니까?

일부 시도 된 설명

• SB가 1/3 이외의 확률로 헤드에 베팅한다면 반드시 돈을 잃을 것입니다. (Vineberg, 인터 알 리오스 )

• 절반은 실제로 정확합니다. Quantum Mechanics에 대한 Everettian의“많은 세계”해석을 사용하십시오! (남자 이름).

• SB는 세상에서 자신의“임시적 위치”에 대한 자기 인식을 바탕으로 자신의 신념을 업데이트합니다. (엘가, 아이오와 )

• SB는 혼란스러워했다. … 실제 문제는 피할 수없는인지 적 오작동을 처리하는 방법입니다.”[Arntzenius]

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질문

이 주제에 대해 이미 작성된 내용을 고려하여 ( 이전 게시물 뿐만 아니라 참고 자료 참조 )이 역설을 통계적으로 엄격하게 해결할 수있는 방법은 무엇입니까? 이것도 가능합니까?

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참고 문헌

Arntzenius, Frank (2002). 잠자는 숲속의 미녀 분석 에 대한 고찰 62.1 pp 53-62.

브래들리, DJ (2010). 분기 세계에서 확인 : 에버렛 해석 및 잠자는 숲속의 미녀 . 브릿. 필. 공상 과학 0 (2010), 1–21.

엘가, 아담 (2000). 자기 위치에 대한 믿음과 잠자는 숲속의 미녀 문제. 분석 60pp 143-7.

Franceschi, Paul (2005). 잠자는 미녀와 세계 감소의 문제 . 사전 인쇄.

Groisman, Berry (2007). 잠자는 숲속의 미녀의 악몽의 끝 . 사전 인쇄.

루이스, D (2001). 잠자는 숲속의 미녀 : Elga에 대답하십시오 . 분석 61.3 pp 171-6.

Papineau, David and Victor Dura-Vila (2008). 제삼자, 에버렛 : Lewis의 'Quantum Sleeping Beauty'에 대한 답변 .

Pust, Joel (2008). 잠자는 숲속의 미녀 . 합성 160pp 97-101.

Vineberg, Susan (2003 년 기복). 아름다움의주의 이야기 .

전략

저는 합리적인 의사 결정 이론을 분석에 적용하고 싶습니다. 통계 결정 문제를 해결하는 데있어 확고한 방법 중 하나이기 때문입니다. 그렇게하려고 노력할 때 SB의 의식 변화와 같은 특별한 어려움이 생깁니다.

• 합리적인 의사 결정 이론은 변경된 정신 상태를 처리하는 메커니즘이 없습니다.

• 코인 플립에서 SB에게 그녀의 신뢰를 요청하면서, 우리는 동시에 SB 실험의 주제와 실험자 (코인 플립을 고려)로서 다소 자기 참조적인 방식으로 그녀를 대우하고 있습니다.

의는 중요하지 않은 방법으로 실험을 변경하자 대신 메모리 삭제 약물 투여, 뷰티 클론 잠자는 안정적인 준비 실험이 시작되기 직전입니다. (이것은 우리가 산만 해지지 만 궁극적으로는 관련이없고 오해의 소지가있는 철학적 문제에 저항하는 데 도움이되므로 핵심 아이디어입니다.)

• 클론은 기억과 생각을 포함하여 모든면에서 그녀와 같습니다.

• SB는 이것이 일어날 것이라는 것을 완전히 알고 있습니다.

우리는 할 수 원칙적으로 복제. ET Jaynes는 "잠자는 숲속의 미녀 문제를 생각하기 위해 필요한 인간 상식의 수학적 모델을 만들 수있는 방법"이라는 질문, "유용한 그럴듯한 추론을 수행 할 수있는 기계를 만드는 방법, 이상적인 상식을 표현하는 명확하게 정의 된 원칙을 따르는가? " 따라서 원하는 경우 SB를 Jaynes의 사고 로봇으로 바꾸고 복제하십시오.

( "생각하는"기계에 대한 논란이있어 왔으며 여전히있다.

"그들은 결코 인간의 마음을 대체 할 기계를 만들지 않을 것입니다. 그것은 기계가 할 수 없었던 많은 일을합니다."

기계가 할 수없는 일이 있다고 주장합니다. 기계가 할 수없는 것이 무엇인지 정확하게 말해 주면, 항상 그렇게 할 기계를 만들 수 있습니다!”

--제이. 폰 노이만, 1948. ET Jaynes에 의해 확률 이론 에서 인용 : 과학의 논리 , p. 4.)

루브 골드버그

잠자는 숲속의 미녀 실험

준비 일요일 저녁 (SB 자신을 포함) SB의 동일한 복사본. 그들은 모두 동시에 100 년 동안 잠을 자게됩니다. 실험 중에 SB를 깨울 필요가있을 때마다 아직 깨어나지 않은 클론 을 무작위로 선택하십시오 . 월요일에 그리고 필요할 경우 화요일에 깨어날 것입니다.$n \ge 2$

이 버전의 실험은 SB의 정신 상태와 인식에 이르기까지 정확히 동일한 확률로 동일한 결과 집합을 정확하게 생성한다고 주장합니다. 이것은 잠재적으로 철학자들이 내 솔루션을 공격 할 수있는 핵심 포인트입니다. 남은 분석은 일상적이고 엄격하기 때문에 공격 할 수 있는 마지막 지점 이라고 주장합니다 .

이제 우리는 일반적인 통계 기계를 적용합니다. 가능한 실험 결과의 샘플 공간부터 시작하겠습니다. 보자 "월요일 각성"을 의미하고 의미 "화요일 깨어 난다." 마찬가지로 는 "머리"를 의미하고 "t"는 꼬리를 의미합니다. 정수 클론을 첨자 화하십시오 . 그런 다음 가능한 실험 결과를 세트로 (투명하고 자명 한 표기법으로 희망합니다) 작성할 수 있습니다T h 1 , 2 , … , $M$$T$$h$$1, 2, \ldots, n$

$$\eqalign{ \{&hM_1, hM_2, \ldots, hM_n, \\ &(tM_1, tT_2), (tM_1, tT_3), \ldots, (tM_1, tT_n), \\ &(tM_2, tT_2), (tM_2, tT_3), \ldots, (tM_2, tT_n), \\ &\cdots, \\ &(tM_{n-1}, tT_2), (tM_{n-1}, tT_3), \ldots, (tM_{n-1}, tT_n) & \}. }$$

월요일 확률

SB 클론 중 하나로서, 당신은 월요일에 헤드 업 실험 동안 깨어날 확률이 (헤드의 기회) 시간 ( 내가 깨어 난 클론으로 선택 될 확률)을 알 것입니다. 더 기술적 인 용어로 :1 /$1/2$$1/n$

• 헤드 결과 세트는 입니다. 그들 중 이 있습니다.$h = \{hM_j, j=1,2, \ldots,n\}$$n$

• 이벤트 당신이 머리에 깨어나는 .$h(i) = \{hM_i\}$

• 특정 SB 클론 가 동전으로 머리를 보여주는 상태에서 깨어날 확률 은$i$

  $$\Pr[h(i)] = \Pr[h] \times \Pr[h(i)|h] = \frac{1}{2} \times \frac{1}{n} = \frac{1}{2n}.$$

화요일 확률

• 테일 결과 세트는 입니다. 그들 중 이 있습니다. 설계 상 모두 동일합니다.n ( n - 1 $t = \{(tM_j, tT_k): j \ne k\}$$n(n-1)$

• 클론 는 이러한 경우 에서 깨어납니다 . 즉, 월요일에 깨울 수있는 방법 ( 화요일 에는 남아있는 클론이 있음)과 화요일에 깨울 수있는 방법 ( 가능한 월요일 클론이 있음)이 있습니다. 이 이벤트를 부릅니다 .( N - 1 ) + ( N - 1 ) = 2 ( N - 1 ) N - 1 N - 1 N - 1 N - 1 t ( I $i$$(n-1) + (n-1) = 2(n-1)$$n-1$$n-1$$n-1$$n-1$$t(i)$

• 테일 업 실험 중에 깨어날 확률은

  $$\Pr[t(i)] = \Pr[t] \times P[t(i)|t] = \frac{1}{2} \times \frac{2(n-1}{n(n-1)} = \frac{1}{n}.$$

베이 즈 정리

우리가 지금까지 이르렀 으므로 , 논쟁의 여지가없는 수학적 타우 톨릭 인 베이 즈 정리 (Bayes 'Theorem) 가 그 작업을 마무리합니다. 따라서 클론의 헤드 확률은

$$\Pr[h | t(i) \cup h(i)] = \frac{\Pr[h]\Pr[h(i)|h]}{\Pr[h]\Pr[h(i)|h] + \Pr[t]\Pr[t(i)|t]} = \frac{1/(2n)}{1/n + 1/(2n)} = \frac{1}{3}.$$

SB는 자신의 복제품과 구별 할 수 없기 때문에 자신에 대한 신뢰도를 물었을 때 제공해야하는 답변입니다.

해석

"머리 확률은 얼마 인가"라는 질문 은이 실험에 대한 두 가지 합리적인 해석을 가지고 있습니다. 공정한 동전이 머리를 뜰 가능성을 요구할 수 있습니다 . (반쪽 답변) 당신이 클론이 깨어났다는 사실에 근거하여 동전이 땅에 닿을 기회를 요청하십시오. 이것은 (제 3의 대답)입니다.(PR) [ H를 | t ( I ) ∪ H ( 나 ) ] = 1 /$\Pr[h] = 1/2$$\Pr[h|t(i) \cup h(i)] = 1/3$

SB (또는 동일하게 준비된 Jaynes 사고 기계 중 하나)가 자신을 발견하는 상황에서 다른 많은 사람들이 수행 한이 분석 (그러나 철학적 혼란을 명확하게 제거하지 못했기 때문에 설득력이 떨어집니다) 실험 설명에서)-제 3의 답변을 뒷받침합니다.

Halfer 답변은 SB가 자신을 찾는 상황과 관련이 없기 때문에 정확하지만 흥미롭지 않습니다. 이것은 역설을 해결합니다.

이 솔루션은 잘 정의 된 단일 실험 설정의 맥락에서 개발되었습니다. 실험을 명확하게하면 문제가 명확 해집니다. 명확한 질문은 명확한 답변으로 이어집니다.

코멘트

Elga (2000)에 이어, 당신은 조건적인 답을 "h의 진실과 관련된 자신의 시간적 위치를 세 어라"라고 합법적으로 특성화 할 수 있지만, 그 특성화는 문제에 대한 통찰력을 추가하지 못한다고 생각합니다. 증거의 수학적 사실. 나에게 그것은 확률 질문에 대한 "클론"해석이 올바른 것이라고 주장하는 모호한 방법으로 보인다.

이 분석은 근본적인 철학적 문제가 정체성 중 하나임을 암시합니다. 깨어 난 클론은 어떻게됩니까? 클론들 사이에인지 적 및 소음 적 관계는 무엇입니까?-하지만 그 논의는 통계 분석의 문제가 아닙니다. 그것은 다른 포럼 에 속해 있습니다 .

이 화려한 게시물 (+1)과 솔루션 (+1)에 감사드립니다. 이 역설은 이미 두통을 안겨줍니다.

나는 단지 요정, 기적 또는 마술 물약이 필요하지 않은 다음 상황을 생각했습니다. 월요일 정오에 공정한 동전을 뒤집습니다. 'Tails'에 도착하면 Alice와 Bob에게 메일을 보내십시오 (다른 사람이 귀하로부터 메일을 받았음을 알 수없고 통신 할 수없는 방식으로). 'Heads'가되면 무작위로 그들 중 하나에게 메일을 보내십시오 (확률 ).$1/2$

앨리스가 우편을받을 때 동전이 '헤드'에 도달 할 확률은 얼마입니까? 그녀가 편지를받을 확률은 이고, 동전이 'Heads'에 도착할 확률은 입니다.1 /$1/2 \times 1/2 + 1/2 = 3/4$$1/3$

Alice는 확률로 문자를받지 않기 때문에 역설이 없습니다 .이 경우 동전이 'Heads'에 도착한 것을 알 수 있습니다. 우리가 그 경우에 그녀의 의견을 묻지 않는다는 사실은이 확률을 0과 동일하게 만듭니다 .$1/4$

그렇다면 차이점은 무엇입니까? 앨리스는 왜 우편을 받아 정보를 얻었 을까요? SB는 깨어나지 않을 것입니다.

보다 기적적인 상황으로 넘어 가기 위해, 우리는 2 개의 다른 SB를 잠들게했습니다. 동전이 '꼬리'에 도달하면 둘 다 일어나고, 머리에 닿으면 무작위로 깨어납니다. 여기서 다시, 각 SB는 'Heads'에 코인이 착륙 할 확률이 이고이 SB가 깨어나지 않을 확률이 이기 때문에 역설이 없다고 말해야합니다 .1 /$1/3$$1/4$

그러나 메모리를 지우는 (또는 복제) 두 개의 다른 SB를 갖는 것과 같기 때문에이 상황은 원래의 역설에 매우 가깝습니다. 그래서 저는 @Douglas Zare와 함께 있습니다 (+1). SB는 깨어나서 무언가를 배웠습니다. 그녀가 화요일에 동전이 '머리'일 때 그녀가 자고 있기 때문에 그녀의 의견을 표현할 수 없다는 사실은 깨어있어서 가진 정보를 지우지 않습니다.

내 생각에 역설은 정당화없이 언급 된 " 그녀는 일요일 밤에 몰랐던 것을 전혀 배웠다 "라는 것이다. 우리가 깨어 났을 때의 상황이 동일하기 때문에 우리는이 인상을받습니다. 그러나 이것은 앨리스가 우편을받는 것과 같습니다.

주요 편집 : 깊은 생각을 한 후에, 나는 나의 의견을 바꾼다 : 잠자는 숲속의 미녀는 아무 것도 배우지 않았으며, 내가 위에서 제시 한 예는 그녀의 상황에 대한 좋은 유사점이 아니다.

그러나 역설적이지 않은 동등한 문제가 있습니다. 나는 Alice와 Bob과 함께 다음과 같은 게임을 할 수 있었다. 나는 동전을 비밀리에 독립적으로 던져서 그들이 추측 할 수없는 1 $ 를 내기했다 . 그러나 동전이 '꼬리'에 도착하면 밥의 앨리스의 베팅이 취소됩니다 (돈은 변하지 않습니다). 그들이 규칙을 알고 있다면 무엇을 베팅해야합니까?

분명히 '머리'. 동전이 'Heads'에 도착하면 1 $ 를 얻지 않으면 평균 0.5 $ 를 잃습니다 . 그들은 동전이 '헤드'에 2/3의 확률로 상륙 할 수 있다고 믿는가? 확실하지 않습니다. 단순히 프로토콜은 각 답변에 대해 동일한 금액의 돈을 얻지 못하도록하는 것입니다.

나는 잠자는 숲속의 미녀가 앨리스 또는 밥과 같은 상황에 있다고 생각합니다. 이벤트는 그녀에게 토스에 대한 정보를 제공 하지 않지만 베팅을 요구할 경우 이득의 비대칭 성으로 인해 그녀의 확률은 1 : 1이 아닙니다. 나는 이것이 @ whuber가 의미하는 것이라고 믿습니다.

Halfer 답변은 SB가 자신을 찾는 상황과 관련이 없기 때문에 정확하지만 흥미롭지 않습니다. 이것은 역설을 해결합니다.

"SB가 깨어날 때마다, 그녀는 일요일 밤에 몰랐던 것을 전혀 배웠다." "추첨에서 당첨되거나 당첨되지 않기 때문에 확률은 입니다." 그녀는 깨어났다는 것을 배웠다. 이것은 정보입니다. 이제 그녀는 각각의 가능한 각성이 동일하게 가능하며 각 동전 뒤집기가 아니라고 믿어야합니다.$50\%$

귀하가 의사이고 환자가 귀하의 사무실로 들어간 경우, 환자가 의사의 사무실로 들어갔다는 것을 알게되었으며, 이는 이전의 평가를 변경해야합니다. 모든 사람이 의사에게 갔지만, 인구의 아픈 절반이 건강한 절반보다 배나 자주 가는 경우, 환자가 들어올 때 환자가 아플 것입니다.$100$

또 다른 약간의 변형이 있습니다. 동전 던지기의 결과가 무엇이든, 잠자는 숲속의 미녀는 두 번 깨어날 것입니다. 그러나 그것이 꼬리라면, 그녀는 두 번 멋지게 깨어날 것입니다. 그것이 머리라면, 그녀는 한 번 멋지게 깨어날 것이고, 얼음 양동이가 한 번 버려 질 것입니다. 그녀가 얼음 더미에서 깨어 났을 때, 그녀는 동전이 머리 위로 올라 왔다는 정보를 가지고 있습니다. 그녀가 잘 깨어 나면 동전이 머리에 오지 않았다는 정보가 있습니다. 그녀는 긍정적 인 결과 (얼음)가 머리가 가능성이 낮다는 것을 나타내는 부정적인 결과 (좋은)가 없으면 머리가 더 가능성이 높다는 비 퇴행성 검사를 할 수 없습니다.

역설은 단일 실험과 한계점 사이의 관점 변화에 있습니다. 실험 횟수를 고려하면이 문제를 반과 제삼자의 "또는"중 하나보다 더 정확하게 이해할 수 있습니다.

단일 실험 : Halvers가 옳다

단일 실험이있는 경우 세 가지 결과가 있으며 깨어 난 관점에서 확률을 계산하면됩니다.

1. 머리 던지기 : 50 %
2. 꼬리가 던져졌고 이것이 나의 첫 깨어남입니다 : 25 %
3. 꼬리가 던져졌고 이것이 나의 두 번째 깨어났습니다 : 25 %

따라서, 한 번의 실험에서, 모든 기상 상황에서, 머리를 던진 상태에 있다고 50/50으로 가정해야합니다.

두 가지 실험 : 42 %가 옳습니다

이제 두 가지 실험을 시도하십시오.

1. 머리가 두 번 던져졌다 : 25 %
2. 꼬리는 두 번 던져졌다 : 25 % (4 개의 각성 결합)
3. 머리와 꼬리 그리고 이것이 나의 첫 깨어남입니다 : 25 % / 3
4. 머리와 꼬리 그리고 이것은 내 두 번째 또는 세 번째 각성입니다 : 25 % * 2/3
5. 꼬리와 머리 그리고 내 첫 번째 또는 두 번째 각성 : 25 % * 2 / 3
6. 꼬리와 머리 그리고 이것은 나의 3 번째 각성이다 : 25 % / 3.

따라서 {1, 3, 6}은 (25 + 25/3 + 25/3) %, 41.66 %의 확률 이 50 % 미만인 헤드 상태 입니다. 두 번의 실험이 진행되는 경우, 모든 기상 상황에서, 41.66 %의 확률로 머리를 던진 상태에 있다고 가정해야합니다.

무한한 실험 : 제 3자가 옳다

여기서는 수학을하지 않겠지 만 두 실험 옵션을 보면 # 1과 # 2가 반쪽으로, 나머지는 3 분의 1로 운전하는 것을 볼 수 있습니다. 실험 횟수가 증가함에 따라 반쪽 (모든 헤드 / 모든 테일)을 향한 옵션은 0으로 줄어든다. 무한한 실험이 진행되는 경우, 모든 기상 상황에서, 머리를 던진 상태에있는 1/3의 확률로 가정해야합니다.

선점 레토르트 :

그러나 도박?

그렇습니다. 단일 실험 인스턴스에서는 여전히 3 분의 1이 "도박"해야합니다. 이것은 불일치가 아닙니다. 특정 결과가 주어지면 동일한 베팅을 여러 번 배치하고 미리 알 수 있기 때문입니다. (그렇지 않으면 마피아도 그렇습니다).

좋아요, 두 번의 단일 실험은 어떻습니까? 불일치가 많이 있습니까?

아닙니다. 첫 번째 실험과 두 번째 실험 중 어느 것에 관한 지식이 당신의 지식에 추가되기 때문입니다. "두 가지 실험"옵션을 살펴보고 첫 번째 실험에 대한 지식 을 기준으로 필터링 해 보겠습니다.

1. 첫 각성에 적용 가능 (1/2)
2. 처음 두 번의 깨우기에 적용 가능 (2/4)
3. 응용할 수 있는
4. 해당 사항 없음
5. 첫 각성에 적용 가능 (1/2)
6. 해당 사항 없음

좋아, Heads ones (1,3,6)에이 곱셈에 곱할 수있는 확률을 적용하십시오 : 25/2 + 25/3 + 0 = 125/6.

이제 Tails one (2,4,5)을 가져 와서 똑같이하십시오 : 25 * 4 / 2 + 0 + 25 * (2/3) / 2 = 125/6.

비올라도 마찬가지입니다. 실제로 어떤 실험을하고 있는지 에 대한 추가 정보는 내가 아는 확률을 조정합니다.

그러나 클론!

간단히 말해서 OP의 답변에 따르면, 복제는 동등한 실험을 만듭니다. 복제와 무작위 선택 은 실험을 변경하는 것과 같은 방식으로 실험자의 지식을 변화시킵니다. 클론이 두 개인 경우 각 클론의 확률이 Two Experiments 확률에 해당함을 알 수 있습니다 . 무한 클론은 제 3 자에게 수렴합니다. 그러나 그것은 무작위 실험이 아닌 단일 실험에 대한 실험과 같은 실험이 아니며 같은 지식이 아닙니다.

당신은 "무한의 임의의 하나"라고 말하고 선택의 공리 의존성을 말합니다

모르겠다. 내 이론이 그렇게 크지 않다. 그러나 무한대보다 적은 N에 대해, 당신은 반에서 삼분의 일로 수렴하는 어떤 시퀀스를 만들 수 있습니다.

문제를 바꿔 보자.

동전이 헤드에 올라 오면 SB는 깨어나지 않습니다.

Tail이면 SB가 한 번 깨어납니다.

이제 캠프는 Halfers와 Zeroers입니다. 그리고 분명히 Zeroers는 정확합니다.

또는 : 머리-> 한 번 깨어났습니다. 꼬리-> 백만 번 깨어났다. 그녀가 깨어 났을 때 분명히 꼬리 일 가능성이 높습니다.

(PS "새로운 정보"에 관한 주제 – 정보가 파괴되었을 수도 있습니다. 따라서 또 다른 질문은 그녀가 한때 가지고 있던 정보를 잃어 버렸습니까?)

"SB가 깨어날 때마다, 그녀는 일요일 밤에 몰랐던 것을 전혀 배웠습니다."

이것은 정확하지 않습니다. 이는 반쪽 인수의 오류입니다. 논쟁의 여지를 어렵게 만드는 한 가지는이 진술에 근거한 반 주장이 내가 인용 한 것보다 더 엄격하게 표현되지 않는다는 것입니다.

세 가지 문제가 있습니다. 첫째, 논쟁은 "새로운 정보"가 무엇을 의미하는지 정의하지 않는다. "원래에 0이 아닌 확률을 가진 사건은 증거에 근거하여 일어날 수 없었습니다"를 의미하는 것 같습니다. 둘째로,이 정의에 맞는지 일요일에 알려진 것을 열거하지 않습니다. 제대로 살펴보면 가능합니다. 마지막으로, "이러한 종류의 새로운 정보가 없으면 업데이트 할 수 없습니다"라는 정리는 없습니다. 가지고 있다면 Bayes Theorem에서 업데이트를 생성합니다. 그러나이 새로운 정보가 없으면 업데이트 할 수 없다는 결론을 내리는 것은 잘못입니다. 오류가된다는 것이 사실이 아니라는 것을 의미하지는 않으며,이 증거만으로는이 결론을 내릴 수 없습니다.

일요일 밤에 SB가 상상의 6 면체 주사위를 굴린다 고 가정 해 봅시다. 상상력이 뛰어 나기 때문에 결과를 볼 수 없습니다. 그러나 목적은 깨어있는 날과 일치하는지 확인하는 것입니다. 짝수는 월요일과 일치하고 홀수는 화요일을 의미합니다. 그러나 이틀을 효과적으로 구별하는 두 가지를 모두 일치시킬 수는 없습니다.

SB는 이제 (일요일에) {Heads / Tails, Monday / Tuesday, Match / No Match}의 8 가지 가능한 조합에 대한 확률을 계산할 수 있습니다. 각각 1/8입니다. 그러나 깨어 났을 때 {Heads, Tuesday, Match}와 {Heads, Tuesday, No Match}가 발생하지 않았다는 것을 알고 있습니다. 이것은 반쪽 주장이 존재하지 않는 형태의 "새로운 정보"를 구성하며, SB가 연구원의 동전이 머리에 떨어질 확률을 업데이트 할 수있게합니다. 가상의 동전이 실제 날짜와 일치하는지 여부는 1/3입니다. 어느 쪽이든 동일하기 때문에 일치하는 것이 있는지 여부는 1/3입니다. 그리고 실제로, 그녀가 주사위를 굴 리거나 굴리기를 상상하는지의 여부.

이 여분의 주사위는 결과를 얻기 위해 많은 일을하는 것처럼 보입니다. 실제로는 필요하지 않지만 이유를 보려면 "새로운 정보"에 대한 다른 정의가 필요합니다. 이전 샘플 공간에서 중요한 (즉, 독립적이고 제로 확률이 아님) 이벤트가 후방 샘플 공간에서의 중요한 이벤트와 다를 때마다 업데이트가 발생할 수 있습니다. 이러한 방식으로 베이 즈 정리의 비율 분모는 1이 아닙니다. 이는 일반적으로 증거가 일부 사건의 확률이 0 일 때 발생하지만 사건이 독립적인지 여부에 따라 증거가 변경되는 경우에도 발생할 수 있습니다. 이것은 매우 정통적 인 해석이지만 Beauty에 결과를 볼 수있는 기회가 두 번 이상 주어지기 때문에 작동합니다. 그리고 날들을 구별했던 나의 상상의 주사위의 요점은 시스템을 총 확률이 1 인 시스템으로 만드는 것이었다.

SB는 일요일에 P (Awake, Monday, Heads) = P (Awake, Monday, Tails) = P (Awake, Tuesday, Tails) = 1 / 2를 알고 있습니다. SB가 일요일에 보유한 정보를 기반으로 이벤트가 독립적이 아니기 때문에 1/2 이상이됩니다. 그러나 그들은 그녀가 깨어있을 때 독립적입니다. 베이 즈 정리에 따르면 답은 (1/2) / (1 / 2 + 1 / 2 + 1 / 2) = 1 / 3입니다. 1보다 큰 분모에는 아무 문제가 없습니다. 그러나 가상의 동전 논쟁은 그러한 분모없이 동일한 일을 달성하기 위해 고안되었습니다.

방금이 문제를 다시 해결했습니다. 나는 지난 포스트 이후로 내 생각 중 일부를 수정했으며, 여기에서 그들을 수용하는 청중을 찾을 수 있다고 생각했습니다.

우선, 그러한 논란을 해결하는 방법의 철학에 대해 논증 A와 B가 존재한다고 말합니다. 각각은 전제, 일련의 추론 및 결과를 가지고 있습니다. 결과가 다릅니다.

하나의 주장이 틀렸다는 것을 증명하는 가장 좋은 방법은 그 추론 중 하나를 무효화하는 것입니다. 그것이 가능하다면 논쟁이 없을 것입니다. 다른 하나는 전제를 반증하는 것이지만 직접 할 수는 없습니다. 왜 자신을 믿지 않는지 논쟁 할 수 있지만, 다른 사람들이 그것을 믿지 말라고 설득하지 않으면 아무것도 해결되지 않습니다.

전제에서 간접적으로 잘못된 것을 증명하려면 부조리 또는 전제의 모순으로 이어질 수있는 일련의 추론을 형성해야합니다. 잘못된 방법은 반대 결과가 당신의 전제를 위반한다고 주장하는 것입니다. 그것은 하나가 잘못되었다는 것을 의미하지만 어느 것을 나타내는 것은 아닙니다.

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이 절반의 전제는 "새로운 정보가 없다"는 것이다. 그들의 추론 순서는 비어 있습니다-아무것도 필요하지 않습니다. Pr (Heads | Awake) = Pr (Heads) = 1 / 2.

세 번째 (특히 Elga)는 Pr (H1 | Awake and Monday) = Pr (T1 | Awake and Monday), Pr (T1 | Awake and Tails) = Pr (T2 | Awake and Tails)이라는 두 가지 구내에 있습니다. 논란의 여지가없는 일련의 추론은 Pr (Heads | Awake) = 1/3이됩니다.

SB가 깨어 났을 때, 제 3자는 새로운 정보가 있다고 가정하지 않습니다. 그리고 제 3의 전제가 반 결과를 위반한다는 것을 제외하고는 왜 제 3의 전제가 잘못되었는지에 대해 논쟁하는 것을 본 적이 없습니다. 따라서 절반은 내가 나열된 유효한 인수를 제공하지 않았습니다. 오해 한 사람 일 뿐이야

그러나 Pr (Heads | Awake) = 1/2로 시작하는 일련의 추론으로 "새로운 정보 없음"에서 가능한 다른 추론이 있습니다. 하나는 Pr (Heads | Awake and Monday) = 2/3이고 Pr (Tails | Awake and Monday) = 1/3입니다. 이것은 세 번째 전제와 모순되지만, 내가 말했듯이 여전히 잘못된 전제 일 수 있기 때문에 반 원인을 도울 수 없습니다. 아이러니하게도,이 결과는 무언가 반증한다는 전제와 모순된다는 것을 증명합니다. SB는 일요일에 Pr (Heads | Monday) = Pr (Tails | Monday)라고 표시하므로 "Awake"정보를 추가하면 이러한 확률을 업데이트 할 수 있습니다. 새로운 정보입니다.

그래서 나는 반 전제가 옳지 않다는 것을 증명했습니다. 그렇다고해서 3 분의 1이 옳다는 것은 아니지만 반은 반박 증거를 제공하지 않았 음을 의미합니다.

+++++

더 설득력있는 또 다른 주장이 있습니다. 완전히 독창적이지는 않지만 적절한 관점이 충분히 강조되었는지 확실하지 않습니다. 실험의 변형을 고려하십시오. SB는 항상 이틀에 깨어납니다. 일반적으로 파란색으로 칠해진 방에 있지만 헤드 후 화요일에는 빨간색으로 칠해진 방에 있습니다. 그녀가 푸른 방에서 깨어날 경우 Heads의 가능성은 무엇이라고 말해야합니까?

나는 아무도 그것이 1/3이 아니라고 진지하게 주장한다고 생각하지 않습니다. 그녀의 현재 상황에 해당하는 세 가지 상황이 있으며 모두 똑같이 가능하며 오직 하나만 머리를 포함합니다.

가장 중요한 점은이 버전과 원본 사이에 차이가 없다는 것입니다. 그녀가 "알고"- "새로운 정보"는 그것이 H2가 아니라는 것입니다. 그것은 얼마나 중요하지 않습니다, 또는 경우 에, 그녀는 그것을 할 수있는 경우가 H2 할 수 알게 될 것입니다. 그녀가 적용하지 않는다고 알고있는 상황을 관찰 할 수있는 능력은 그녀가 적용되지 않는다는 것을 알면 관련이 없습니다.

나는 반쪽 전제를 믿을 수 없습니다. 그것은 그녀가 H2를 관찰 할 수 없다는 사실에 근거하고 있으며, 그것이 H2가 아니라는 것을 관찰 할 수 있기 때문에 중요하지 않습니다.

그래서 나는 반 전제가 유효하지 않은 이유에 대한 설득력있는 주장을 제공하기를 희망합니다. 그 과정에서 세 번째 결과가 정확해야한다는 것을 알았습니다.

가능한 깨우기의 3 분의 1은 머리 깨우기이고 가능한 깨우기의 2/3는 꼬리 깨우기입니다. 그러나 공주의 절반 (또는 무엇이든)은 머리 공주이며, 절반은 꼬리 공주입니다. Tails 공주는 개별적으로 그리고 전체적으로 Heads 공주보다 2 배 많은 깨어남을 경험합니다.

공주의 관점에서 깨어 나면 세 가지 가능성이 있습니다. 그녀는 처음으로 만 깨우는 Heads 공주 ( ), 처음으로 깨어 난 Tails 공주 ( ) 또는 두 번째로 깨어 있는 Tails 공주 ( )입니다. 이 세 가지 결과가 똑같이 가능하다고 가정 할 이유가 없습니다. 오히려 , 및 이다.$H1$$T1$$T2$$P[H1]=0.5$$P[T1]=0.25$$P[T2]=0.25$

나는 Vineberg의 추론을 읽지 못했지만 어떻게 그녀가 의 공정한 내기에 도착하는지 볼 수 있다고 생각 합니다. 공주가 깨어날 때마다 그녀가 머리 공주라는 xx 베팅을 하고, 실제로 머리 공주라면 $ 1, 그렇지 않으면 $ 0를 받는 다고 가정합니다 . 그런 다음 Heads 공주는 를 받고 Tails 공주는 연주 할 때마다 받습니다 . Tails 공주는 두 번 플레이해야하고 공주의 절반은 Heads 공주이므로 예상 수익은 이고 적정 가격은 입니다.$\$1/3$$\$x$$\$(1-x)$$\$(-x)$$\$(1-3x)/2$$\$1/3$

일반적으로 이것은 확률이 이라는 결정적인 증거 이지만,이 경우 일반적인 추론은 유지되지 않습니다. 베팅을 잃을 운명의 공주는 게임을 두 번 수행해야하지만 승리 할 예정인 사람들은 한 번만 재생하십시오! 이 불균형은 확률과 공정한 내기 사이의 일반적인 관계를 분리합니다.$1/3$

반면에, 깨우기 과정을 도와 줄 기술자는 실제로 1/3 정도만 Heads 공주에게 배정 될 것입니다.

당신이 깨어 때, 어느 정도를해야합니다 당신은 동전 던지기의 결과가 머리라고 생각?

" 해야한다 " 는 무슨 뜻 입니까? 내 믿음의 결과는 무엇입니까? 그런 실험에서 나는 아무것도 믿지 않을 것입니다. 이 질문은으로 태그되어 decision-theory있지만이 실험이 생각 된 방식으로 결정을 내릴 동기가 없습니다.

실험을 다른 방식으로 수정하여 답변을 드리려는 경향이 있습니다. 예를 들어, "머리"또는 "꼬리"로 인해 깨어 났는지 여부를 추측 할 수 있으며, 각 정답에 대해 사탕 을 얻습니다 . 이 경우, 반복적 인 실험에서는 평균적으로 실험 당 하나의 사탕을 얻을 것이기 때문에 "Tails"를 결정할 것입니다. 50 %의 경우 던지기는 "Tails"입니다. 두 번 깨우면 두 번 사탕을 벌 수 있습니다. 다른 50 % ( "헤드")에서는 아무것도 얻지 못합니다. "헤드"라고 대답하면 한 번의 답변 만받을 수 있고 시간의 50 %가 정확하기 때문에 실험 당 사탕의 절반 만 벌 수 있습니다. 내가 답을 위해 공정한 동전을 던졌다면$3/4$

또 다른 가능성은 사탕을 얻을 것입니다 각 실험에 있는 모든 내 대답은 정확했다. 이 경우 어떤 체계적인 답변을 제공 하든 문제가되지 않습니다 . 평균적으로 실험 당 사탕의 절반을 벌게됩니다. "헤드"에 항상 답하기로 결정하면 정답이됩니다. 사례의 50 %가 동일하며 "Tails"도 마찬가지입니다. 내가 직접 동전을 던질 때만 사탕의 을 것 입니다. 사례의 50 %에서 "머리"를 던지고 그 중 50 %에서 "머리"도 던졌습니다. 나 사탕의. 다른 50 %의 경우 연구에서 "Tails"를 던질 때 "Tails"를 두 번 던져야합니다.$3/8$$1/4$$1/4$사탕의 만 얻을 수 있습니다.$1/8$

이 역설을 어떻게 통계적으로 엄격하게 해결할 수 있습니까? 이것이 가능합니까?

" 통계적으로 엄격한 방법 "을 정의하십시오 . 신념 에 대한 질문은 실질적으로 관련이 없습니다. 행동 만 중요합니다.

그 질문은 모호하기 때문에 역설 만 보인다 . 질문은 다음과 같이 제기됩니다.

당신이 깨어 났을 때, 동전 던지기의 결과가 머리라고 믿는 정도는 어느 정도입니까?

이 질문과 혼동되는 것은 무엇입니까?

당신이 깨어 났을 때, 당신은 머리가 당신이 깨어 난 이유 라고 어느 정도 믿어야 합니까?

첫 번째 질문에서 확률은 1/2입니다. 두 번째 질문에서는 1/3입니다.

문제는 첫 번째 질문이 언급되었지만 두 번째 질문은 실험의 맥락에서 암시 된다는 것 입니다. 무의식적으로 암시를 받아 들인 사람들은 1/3이라고 말합니다. 질문을 읽는 사람들은 문자 그대로 1/2이라고 말합니다.

혼란스러워하는 사람들은 어떤 질문을하는지 잘 모르겠습니다!

나는이 예를 정말로 좋아하지만 몇 가지 귀찮은 방해 요소와 혼동 할 한 가지 점이 있다고 주장한다.

성가신 산만 함을 피하기 위해, 논쟁의 여지가있는 것은 의심 할 여지없이 (적절한 표현으로) 합리적으로 의심 할 수없고 주장을 입증하기 위해 검증 가능하게 조작 될 수있는 (문제가있는 다른 사람에 의해 재 조립 될 수있는) 문제에 대한 추상적 인 도식적 표현을 분별해야합니다. 간단한 예로서, (추상적 인 수학) 사각형과 두 개의 삼각형으로 만들 수 있다는 주장을 생각해보십시오.

자유 직사각형을 수학 직사각형의 표현으로 그리십시오 (도면에서 4 개의 각도는 정확히 180도에 추가되지 않으며 인접한 선은 정확히 동일하거나 직선이 아니지만 실제 직사각형을 나타내는 지 의심 할 여지가 없습니다. ). 이제 어느 한쪽 반대쪽 모서리에서 다른 쪽 모서리로 선을 그려서 조작하십시오. 다른 사람이 할 수 있고 아무도 의심하지 않는 두 개의 삼각형을 나타냅니다. 의문이 있으면 말도 안되는 것처럼 보일 수 있습니다.

내가 여기서 만들려고 노력하고있는 점은 그 경우 당신은 공동 확률 분포로 SB 문제의 합리적인 의심 표현 넘어 얻을이 표현의 실험에서 발생하는 이벤트의 조건 수 있습니다 - 다음 아무것도 배운 여부에 주장을 이 사건에 의해 검증 가능한 조작으로 증명할 수 있으며 (철학적) 토론이나 질문이 필요하지 않습니다.

이제 나는 나의 시도를 더 잘 표현할 수 있으며 독자들이 성공하면 분별력이 필요하다. 나는 확률 트리를 사용하여 실험에서 수면 (DSIE), 월요일에 동전 뒤집기 결과 (CFOM) 및 실험에서 수면 중 (WGSIE)에서 깨어날 수있는 공동 확률을 나타냅니다. p (DSIE) * p (CFOM | DSIE) * p (WGSIE | DSIE, CFOM)의 관점에서 작성합니다 (실제로 여기에 작성).

DSIE 및 CFOM 가능한 미지수 및 WGSIE를 알려진 알려진 것으로 부르고 싶은 경우 p (DSIE, CFOM)는 이전이고 p (WGSIE | DSIE, CFOM)는 데이터 모델 또는 가능성이며 베이 즈 정리가 적용됩니다. 단지 논리적으로 동일한 일 조건부 확률.

이제 p (DSIE = Mon) + p (DSIE = Tues) = 1이고 p (DSIE = Tues) = ½ p (DSIE = Mon)

따라서 p (DSIE = Mon) = 2 / 3 및 p (DSIE = Tues) = 1 / 3입니다.

이제 P (CFOM = H | DSIE = Mon) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = Mon) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = Tues) = 1입니다.

P (WGSIE | DSIE =., CFOM =.)는 항상 1과 같습니다.

이전과 같음

P (DSIE = Mon, CFOM = H) = 2/3 * ½ = 1/3

P (DSIE = Mon, CFOM = T) = 2/3 * ½ = 1/3

P (DSIE = 화, CFOM = T) = 1/3 * 1 = 1/3

CFOM = 1/3 H 및 2/3 T에 대한 한계는 미미하며 실험에서 자고있는 동안 깨어 난 뒤는 동일합니다 (학습이 발생하지 않음) – 따라서 2/3 T입니다.

OK – 내가 어디로 잘못 되었습니까? 확률 이론을 검토해야합니까?

이것에 대한 간단한 설명은 잠자는 숲속의 미녀가 꼬리 던지기에서 두 가지 방법으로 깨어날 수있는 3 가지 방법이 있다는 것입니다. 따라서 그녀가 깨어날 때마다 머리에 대한 확률은 1/3이되어야합니다. 블로그 게시물 에 설명했습니다

"반쪽"관점에 대한 주요 주장은 다음과 같습니다. 베이지안 관점에서, SB는 항상 자신이 가진 새로운 정보를보고자합니다. 실제로 실험에 참여하기로 결정한 순간 깨어 났을 때 며칠이 될 수 있다는 추가 정보가 있습니다. 다시 말해, 정보의 부족 (메모리 삭제)은 여기서 미묘하게 증거를 제공하는 것입니다.

많은 질문과 마찬가지로 질문의 정확한 의미에 따라 다릅니다.

당신이 깨어 났을 때, 동전 던지기의 결과가 머리라고 믿는 정도는 어느 정도입니까?

"토스 된 동전이 머리 일 확률은 얼마입니까?"로 해석한다면, 그 대답은 "확률의 절반"입니다.

그러나 당신이 요구하는 것은 (내 해석으로는) "현재 깨어 난 것이 머리에 의한 것일까?"입니다. 이 경우 깨어남의 3 분의 1만이 머리에 의한 것이기 때문에 가장 가능성있는 대답은 "꼬리"입니다.

이것은 매우 흥미로운 질문입니다. 나는 잠자는 숲속의 미녀처럼 대답 할 것이다. 이해해야 할 핵심은 실험자를 100 % 신뢰한다는 것입니다.

1) 일요일 밤에 동전이 나올 확률을 물어 보면 알려 드리겠습니다 .$\frac{1}{2}$

2) 나를 깨우고 나에게 물어볼 때마다 알려줄 것이다 .$\frac{1}{3}$

3) 이것이 당신이 나를 깨우는 마지막 시간이라고 말하면 나는 확률이 라고 즉시 전환 할 것 입니다.$\frac{1}{2}$

분명히 (1) 동전이 공정하다는 사실에서 나옵니다. (2)는 당신이 깨어 났을 때, 당신의 관점에서 볼 때 똑같이 3 가지 상황 중 하나에 속한다는 사실에서 비롯됩니다. 각각 확률로 발생할 수 있습니다 .$\frac{1}{2}$

그런 다음 (3)이 당신이 깨어 난 마지막 시간이라고 말하자마자 당신이 처할 수있는 상황의 수를 2로 축소한다는 것을 제외하고는 같은 방식으로 따릅니다 (현재 꼬리와 이것이 처음이었습니다) 깨어날 수 없습니다).

SB가 'Heads'이후 ' '번 'Tails'후에 ' '번 일반적인 경우에 대해이 문제를 해결하려고합니다 .$m$$n$$m≤n$

특히, 동전이 '머리'라면, 그녀는 깨어날 것입니다 ...

일 1
일 2 일
$\cdots$
$\cdots$
$m$

그리고 동전이 '꼬리'라면, 그녀는 깨어날 것입니다 ...

일 1
일 2 일
$\cdots$
$\cdots$
$n$

$m≤n$

그런 다음이 특정 질문에 대해서는 이고 입니다. 나는 가정을하지 않을 것입니다. 동전이 공정하다는 주어진 정보 만 사용하므로 깨우기 전에 SB가 깨어 났을 때 그녀는 그 날이 언제인지 또는 전에 깨어 났는지 알 수 없습니다. 그녀는 공정한 동전이 가능한 결과 'Heads'와 'Tails'로 던져 졌다는 것을 알고 있습니다. 그녀는 또한 깨어남이 'day 1'또는 'day 2'또는 또는 'day '에 있다는 것을 알고 있습니다. 가능한 결과 '머리'은 '가 내가 이름을거야'가능한 결과 , , , .$m=1$$n=2$

$$P(Heads)=P(Tails)=1/2.$$ $\ldots$$n$$m$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$D_1$ :이 각성 '일 1'에 일어나고 이 각성의 날 (2 ')에서 일어나고 이 각성'일 3 '에 일어나고 이 각성'하루에 일어나고 '
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_m$$m$

가능한 결과 'Tails'에 대해 위에서 언급 한 ' '가능한 결과를 포함하여 ' '개의 가능한 결과가 있습니다.$n$$m$

$D_1$ :이 각성은 '1 일'에 무슨 일이 일어나고 이 각성은 '일 2'에 무슨 일이 일어나고 이 각성은 '3 일'에 무슨 일이 일어나고 이 각성은 '일에 무슨 일이 일어나고 '
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_n$$n$

따라서 가능한 결과가 있습니다. 이제 동전 이벤트, '헤드'착륙했습니다 주어진 , , , 똑같이 가능성이있다. 따라서 ... 또한, 코인이 'Tails'에 착륙 한 경우 이벤트 , , , 똑같이 가능성이있다. 그러므로 ... 이제 가능한 모든 이벤트 에서 는 정수이고$m+n$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$$P(D_1|H)=P(D_2|H)=\ldots=P(D_m|H) = \frac{1}{m}$$ $D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$ $$P(D_1|T)=P(D_2|T)=\ldots=P(D_n|T) = \frac{1}{n}$$ $D_i$$i$$1≤i≤m$ $$P(D_i\cap H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{m} = \frac {1}{2m}$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$ 위한 , 그것은 분명히 ... $m<i≤n$ $$P(D_i∩H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times0=0$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$

이제 가능한 사건의 확률 계산하자 , , ,$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

위한 에 대한$1≤i≤m$

$$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T) = \frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}$$ $m<i≤n$ $$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T)=0+\frac {1}{2n} = \frac {1}{2n}$$

이제 우리는 SB가 깨어있는 '헤드'의 확률을 계산할 수 있습니다. 위에서 말했듯이, 각성시 가능한 이벤트는 , , , . 따라서 확률은 ...$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

$$\begin{align}P(H|awake)&=P(H|(D_1∪D_2∪...∪D_n))\\ &\\ &=\frac {P(H∩(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac {P((H∩D_1)∪(H∩D_2)∪\ldots∪(H∩D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_m)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_m)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2m}\times m + 0\times(n-m)}{(\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n})\times m + \frac {1}{2n}\times(n-m)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2}+0}{\frac {1}{2}+\frac{m}{2n}+\frac {1}{2}-\frac{m}{2n}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac {1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2} \end{align}$$

우리는 이미 답을 가지고 있지만 특정 날에 깨어남이 일어날 때 '머리'또는 '꼬리'의 확률을 계산합시다.

위한$1≤i≤m$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2m}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{n}{m+n}$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2n}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{m}{m+n}$$

용$m<i≤n$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{0}{P(D_i)}=0$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}}=1$$

나는 이것이 "1/3"답변을 믿는 사람들에게는 답이 아니라는 것을 알고 있습니다. 이것은 조건부 확률의 간단한 사용입니다. 따라서 나는이 문제가 모호하므로 역설이라고 믿지 않습니다. 그러나 어떤 실험이 어떤 실험이고 어떤 실험이 일어날 수 있는지 명확하지 않음으로써 독자에게는 혼란 스러울 수 있습니다.

잠자는 숲속의 미녀는 전에 깨어 난 횟수를 기억할 수 없기 때문에, 그녀가 한 번만 깨어 났을 때 Heads의 가능성을보고있는 것이 아니라, 한 번 이상 깨어 났을 때 Heads의 가능성을보고 있습니다 .

따라서 우리는 : 이고 아닙니다.$P(Heads\mid x\geq1) = 1/2$ $P(Heads\mid x=1) = 1/3$

따라서 답은 50 % (반쪽이 옳음)이며 역설이 없습니다.

사람들은 이것을 실제보다 훨씬 더 복잡 하게 만드는 것 같습니다 !

비 통계

잠자는 숲속의 미녀는 그녀의 모든 선의에서 그녀의 수면에 대한 가상의 실험을 수행 할 수 있습니다.

import numpy as np

# Take clones of our Sleeping Beauties.
# One type of clones is persistently heads guessing,
# the other persistently guesses tails.

# Keeping score for heads guessing Sleeping Beauty ...
guessed_heads_right = 0

# ... and also for the tails guessing Sleeping Beauty
guessed_tails_right = 0

# Coding the toss outcomes
HEADS = 0
TAILS = 1


# Function to wake up heads guessing Sleeping Beauty
def heads_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == HEADS


# Function to wake up tails guessing Sleeping Beauty
def tails_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == TAILS


# Repeating the tossing and awakenings many times
for i in range(1000):

    # Toss fair coin, result is either HEADS or TAILS
    toss = np.random.randint(0, 2)

    # Waking SBs up first time and count successful guesses
    if heads_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_heads_right += 1
    if tails_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_tails_right += 1

    # If toss was TAILS, wake SBs up second time ...
    if toss == TAILS:

        # ... and counts successful guesses
        if heads_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_heads_right += 1
        if tails_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_tails_right += 1

# Print the raw statistics
print('Guessed HEADS right: {}'.format(guessed_heads_right))
print('Guessed TAILS right: {}'.format(guessed_tails_right))

산출:

Guessed HEADS right: 498
Guessed TAILS right: 1004

그래서 우리 잠자는 숲속의 미녀는 꼬리를 더 잘 추측 할 것이라고 믿습니다.

그리고 통계적으로?

위의 알고리즘은 a statistically rigorous way추측 할 내용을 결정 하지 않습니다 . 그러나 꼬리의 경우, 그녀는 두 번 추측 할 수 있으므로 꼬리를 추측하는 것이 올바른 추측보다 두 배가 된다는 것이 불명확합니다 . 이것은 실험의 운영 절차에 따른다.

빈번한 확률

Frequentist Probability 는 Fisher, Neyman 및 (Egon) Pearson의 이론을 기반으로 한 통계 개념입니다.

Frequentist Probability의 기본 개념은 실험의 연산이 최소한 가정적으로 반복 될 수 있다는 것입니다. 이러한 각각의 연산 은 결과 이어진다 .$n$$E_{n}$

결과의 빈도주의 확률 다음과 같이 정의된다$E$$Pr(E)\equiv\texttt{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{E_{n}}{N}\right)$

이것이 잠자는 숲속의 미녀가 위의 머리에서 한 일입니다. 만약 HEADS를 추측하는 동안 가 옳다면, 는 수렴합니다 .$E$$Pr(E)$$\frac{1}{3}$

그리고 그녀는 믿습니까?

그녀가 마침내 그녀의 추리에 여기에 도착했을 때, 그녀는 그녀 의 믿음에 근거한 통계적으로 엄격한 근거를 가지고 있습니다. 그러나 그녀가 궁극적으로 그들을 형성하는 방법은 실제로 그녀의 정신에 달려 있습니다.

방금 요점을 설명하는 새로운 방법과 1/2 답변의 문제점을 생각했습니다. 동일한 코인 플립을 사용하여 두 가지 버전의 실험을 동시에 실행하십시오. 하나의 버전은 원본과 같습니다. 다른 한편으로, 3 명 (또는 4 명은 중요하지 않음)의 자원 봉사자가 필요합니다. 각각에는 Heads-or-Tails와 Monday-or-Tuesday의 다른 조합이 할당됩니다 (3 명의 자원 봉사자 만 사용하는 경우 Heads + Tuesday 조합은 생략 됨). HM, HT, TM 및 TT에 각각 레이블을 지정하십시오 (HT를 생략 할 수 있음).

두 번째 버전의 자원 봉사자가 이런 식으로 깨어 난 경우, 그녀는 HM, TM 또는 TT로 분류되었을 가능성이 높다는 것을 알고 있습니다. 다시 말해서, 그녀가 깨어있을 때 HM이라고 분류 된 확률은 1/3입니다. 코인 플립과 요일이이 과제에 해당하기 때문에, 그녀는 P (Heads | Awake) = 1 / 3을 사소하게 추론 할 수 있습니다.

첫 번째 버전의 자원 봉사자는 두 번 이상 깨어날 수있었습니다. 그러나 "오늘"은 가능한 이틀 중 하나 일 뿐이므로 깨어있을 때 두 번째 버전의 깨어있는 자원 봉사자와 정확히 동일한 정보를 갖습니다. 그녀는 자신의 현재 상황 이 다른 자원 봉사자 중 하나에 만 적용되는 레이블과 일치 할 수 있음을 알고 있습니다 . 즉, 그녀는 자신에게 "HM 또는 HT라고 표시된 자원 봉사자 또는 TT도 깨어 있습니다." 꼬리. "

사람들이 실수하는 이유는 "실험 중 언젠가 깨어있다"와 "지금 깨어있다"를 혼동하기 때문입니다. 1/2 대답은 하나 HM은 유일한 깨어 자원 봉사자는 "자신에게 말을 원래 SB에서 오는 NOW , 또는 TM 및 TT는 둘 다 깨어 실험 기간 동안 언젠가 각 상황에 똑같이 가능성이 있기 때문에, 1/2 기회가있다. "HM이어서 동전이 꼬리에 닿을 확률은 1/2입니다." 다른 자원 봉사자 만 깨어 있기 때문에 실수입니다.

나는 통계적으로 엄격한 대답을하기보다는 직관으로 이끄는 사람들을 반으로 이끌 수있는 방식으로 질문을 약간 수정하고 싶습니다.

일부 연구자들은 당신을 잠들게하려고합니다. 공정한 동전의 비밀 던지기에 따라, 그들은 당신을 한 번 (머리) 또는 아홉 번과 아흔 아홉 번 (꼬리) 깨 웁니다. 각각의 각성 후 그들은 당신이 그 각성을 잊게하는 약으로 다시 잠들게 할 것입니다.

잠에서 깨어 났을 때, 동전 던지기의 결과가 머리라고 믿는 정도는 어느 정도입니까?

이전과 동일한 논리에 따라 두 개의 캠프가있을 수 있습니다.

• Halfers- 동전 던지기는 공정했고 SB는 이것을 알고 있으므로 절반의 가능성이 있다고 생각해야합니다.
• 천둥 -실험이 여러 번 반복되면 동전 던지기는 천 번에 한 번만 머리가 될 것이므로 머리의 기회는 천 개 중 하나라고 믿어야합니다.

나는 원래 말한 질문에서 혼란의 일부는 단순히 1/2과 1/3 사이에 큰 차이가 없기 때문에 발생한다고 생각합니다. 사람들은 자연스럽게 확률을 다소 모호한 개념으로 생각하고 (특히 확률이 빈도가 아닌 신뢰도 일 때), 반과 삼의 신념의 차이를 직관하기가 어렵습니다.

그러나 반과 천의 차이는 훨씬 더 내장 적입니다. 더 많은 사람들 에게이 문제에 대한 답 은 반이 아닌 천분의 일이라는 것이 직관적으로 명백하다고 주장합니다 . 대신 "halfer"가이 버전의 문제를 사용하여 그들의 주장을 변호하는 것을보고 싶습니다.

잠자는 숲속의 미녀가 머리 나 꼬리를 말해야한다면 꼬리를 따서 예상되는 0-1 손실 기능 (매일 평가)을 최소화 할 것입니다. 그러나 0-1 손실 함수가 각 시행마다 평가 된 경우 헤드 또는 테일이 동일하게 좋습니다.

제삼자가 이기다

동전 대신 공정한 주사위를 가정하십시오.

on friday, the sleeping beauty will sleep:
if the dice == 1 , they will awake her on saturday;
if the dice == 2 , they will awake her on saturday and sunday;
if the dice == 3 , they will awake her on saturday, sunday and monday;
if the dice == 4 , they will awake her on saturday, sunday, monday and tuesday;
if the dice == 5 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday and wednesday;
if the dice == 6 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday, wednesday and thursday;

그들이 그녀에게 물어볼 때마다 '주사위의 결과는 1이라고 믿어야합니까?'

반쪽 은 주사위 확률 = 1은 1/6 이라고 말하고, 반쪽 은 주사위 확률 = 1은 1/21이라고 말할 것입니다

그러나 시뮬레이션은 문제를 분명히 해결합니다.

days <- c("saturday", "sunday", "monday", "tuesday", "wednesday", "thursday")

#she will answer the dice was 1 every time 
#the trick here is that this is not absolutely random because every day implies the days before it. 


number_of_correct_answer <- 0
number_of_days <- 0
for (i in 1:1000){
dice <- sample(1:6,1)
for (item in days[1:dice]){
        number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (dice == 1)
        number_of_days <- number_of_days + 1
}
}
number_of_correct_answer/number_of_days
#equals 1/21
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment has more than one day we will get 1/6
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/6

또한 우리는 토스 문제를 시뮬레이션 할 수 있습니다

days <- c("monday", "tuesday")
number_of_correct_answer <- 0
number_of_tosses <- 0
for (i in 1:1000){
        toss <- sample(1:2,1)
        for (item in days[1:toss]){
                number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (toss == 1)
                number_of_tosses <- number_of_tosses + 1
        }
}
number_of_correct_answer/number_of_tosses
#equals 1/3
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment can has more than one toss we will get 1/2
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/2

명백한 역설은 확률이 절대적이라는 잘못된 전제에서 비롯됩니다. 실제로 확률은 계산되는 이벤트의 정의와 관련이 있습니다.

이것은 머신 러닝을 이해하기위한 중요한 포인트입니다. 우리는 모델에 의해 모델링 된 요소 (다양한 시간에 문자의 확률, )로 분해되어 무언가의 가능성 (예를 들어, 오디오가 주어지면 전사가 정확함)을 계산할 수 있습니다. 전체 오디오를 보지 않고 그 순간을 봅니다 ( 계산 ). 는 다르게 정의되기 때문에 는 과 같습니다 . 다른 P를 같은 방정식에 넣을 수는 없지만 신중한 분석을 통해 두 도메인간에 변환 할 수 있습니다.$P(Letter,Time|Audio)$$P(Letter|Time,Audio)$$P(Letter,Time)$$P(Letter|Time)$

P (Heads) = 1 / 2 wrt 세계 (또는 출생) 및 P (Heads) = 1 / 3 wrt 순간 (또는 각성)은 모두 사실이지만, 잠자기 후 잠자는 숲속의 미녀는 순간과 관련된 확률 만 계산할 수 있습니다 그녀는 기억이 지워지는 것을 알고 있기 때문에. (자기 전에, 그녀는 세계와 관련하여 그것을 계산할 것입니다.)

제 생각에 오류는 "삼분의 일"이라고 생각하며, 그 이유는 "깨어 난"이 똑같이 일어날 가능성이 없기 때문입니다. 실제로 % 확률.

즉, "3 개의 결과"(heads1, tails1, tails2)를 동일하게 계산할 수 없습니다.

나는 이것이 의 경우 인 것 같다 여기서 는 SB가 깨어났다는 제안이다. 무언가를 두 번 말하는 것은 한 번 말하는 것과 같습니다. 이전의 예측이 이기 때문에 SB에 새로운 데이터가 제공되지 않았습니다 . 그것을 넣는 다른 방법은 와 입니다. 이것은$AA=A$$A$$Pr(A|I)=1$$I\implies A$$IA=I$$p(H|AI)=p(H|I)=0.5$

@ pit847의 답변에 수학이 명확하게 표시되어 있으므로 내에서 반복하지 않습니다.

그러나 각 깨달 때마다 결과를 추측하기 위해 달러를 베팅 하고 올바른 경우 달러 가 제공 됩니다. 이 경우, 결과는 "가중치"이므로 항상 꼬리를 추측해야합니다. 동전이 꼬리라면 두 번 내기합니다. heads가 이고 이와 유사하게 추측 할 경우 예상 수익 (이 라고 부름 꼬리를 추측하기위한 것 $1$$g$$U$

$$E(U|h)=0.5\times (g-1) + 0.5\times (-2) = \frac{g - 3}{2}$$ $$E(U|t)=0.5\times (-1) + 0.5 \times (2g-2)=\frac{2g - 3}{2}$$

따라서 꼬리를 추측하여 평균적으로 를 더 얻습니다 . "공정한 내기"금액은$\frac{g}{2}$$g=\frac{3}{2}=1.5$

위의 내용을 반복하지만 절반 대신 세 번째를 사용하면 및 . 그래서 우리는 여전히 꼬리를 추측하는 것이 더 나은 전략이라는 것을 알고 있습니다. 또한 "공정한 베팅"금액은$E(U|h)=\frac{g-5}{3}$$E(U|t)=\frac{4g-5}{3}$$g=\frac{5}{4}=1.25$

이제 "thirds"는 내기를해야한다고 말할 수 있습니다 . 그러나 "반쪽"은이 내기를하지 않을 것입니다. @Ytsen de Boer에는 테스트 할 수있는 시뮬레이션이 있습니다. 우리는이 머리와 꼬리를, 그래서 도박 꼬리는 당신에게 줄 것이다 원 베팅한다. 그러나 ... 당신은 이것을 얻기 위해 번 플레이해야했는데 이것은 의 순 손실입니다 . 또한 이것은 실제로 베팅에 약간 유리한 결과입니다.$g=1.4$$498$$502$$1004 \times 1.4 = 1405.6$$1502$$97.6$

잠자는 숲속의 미녀가 깨어 났을 때, 그녀는 다음을 알고있다 :

공정한 동전을 던져 결과 을 산출했다 ; 만약 다음이 단독 후속 각성이고; 및 경우 다음이 두 연속적인 각성 중 하나이다.$r$$r = \mathrm{H}$$r = \mathrm{T}$

이 정보를 전화하십시오 . 다른 질문은 그녀의 질문과 관련이 없습니다.$\mathcal{I}$

무엇입니다$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I})?$

이것은 유추와 달리 확률을 할당하는 문제입니다. 경우 각성의 개수 후 동등 $w$$\mathcal{I}$

$$(r = \mathrm{H} \vee r = \mathrm{T}) \wedge (r = \mathrm{H} \implies w = 1) \wedge (r = \mathrm{T} \implies (w = 1 \vee w = 2))$$

논리적으로

$$(r = \mathrm{H} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 2)$$

잠자는 숲속의 미녀는 더 이상 정보가 없습니다. 불충분 한 이유의 원칙에 따라, 그녀는 각 이산 자에게 의 확률을 할당 할 의무가있다 . 따라서 입니다.$\frac{1}{3}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{3}$

---

추신

"공정한 동전"이 동전 뒤집기 결과에 대해 또는 두 가지 가능성이 있음을 의미하는 것으로 해석 될 때, 초의 생각에서, 앞의 대답이 적용됩니다 . 그러나 아마 문구 "공정 동전"의보다 충실한 해석은 직접 그 지정하는 것입니다 , 그러자를 답은 문제 진술에 나와 있습니다.$\mathrm{H}$$\mathrm{T}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{2}$

그러나 필자의 관점에서 볼 때 이러한 종류의 진술은 기술적으로 허용되지 않습니다. 확률은 선행 및 결과적인 제안에서 해결 되어야하는 것이기 때문 입니다. "공정한 동전의 비밀 토스"라는 구절은 질문을 제기합니다 : 잠자는 숲속의 미녀는 그것이 공정하다는 것을 어떻게 알 수 있습니까? 그녀는 어떤 정보를 가지고 있습니까? 일반적으로 이상적인 동전의 공정성은 정보 적으로 동등한 두 가지 가능성이 있다는 사실에서 해결됩니다. 코인 플립이 깨어 난 요소와 혼합되면 정보 적으로 동등한 세 가지 가능성이 있습니다. 본질적으로 3면 이상적인 동전이므로 위의 솔루션에 도달합니다.

파티에 늦었 어.

이 질문은 Monty Hall 문제와 매우 유사합니다. 여기서 3 개의 문 중 어느 문이 뒤에 있는지 추측해야합니다. 문 1 번을 선택한다고 가정 해 봅시다. 그런 다음 발표자 (상금이 어디에 있는지 아는 사람)는 게임에서 3 번 문을 제거하고, 1 번 문에서 2 번 문으로 추측을 전환 할 것인지 또는 초기 추측을 고수 할 것인지 묻습니다. 스토리는 문 2 번에 상이 올 확률이 높기 때문에 항상 전환해야합니다. 사람들은 보통이 시점에서 혼란스러워서 어느 쪽 문 에든 상금의 확률이 여전히 1/3임을 지적합니다. 그러나 그것은 요점이 아닙니다. 문제는 초기 확률 것이 아니다 이었다, 실제 질문은 첫 번째 추측이 옳았을 가능성이 무엇인지, 당신이 틀렸을 가능성이 무엇인지입니다. 어떤 경우에, 당신은 그것을 잘못했을 가능성이 2/3이기 때문에 전환해야합니다.

Monty Hall 문제와 마찬가지로 3 개의 문을 백만 개의 문으로 만들면 상황이 매우 명확 해집니다. 문이 백만 개이고 문 번호 1을 선택하고 발표자가 문 번호 1과 문 번호 2 만 남기고 문을 닫는 경우 문을 닫으시겠습니까? 물론 그렇습니다! 처음에 Door No1을 올바르게 선택했을 가능성은 1 백만입니다. 당신이하지 않았을 가능성이 있습니다.

다시 말해, 추론의 오류는 두 사람 사이의 맥락이 동등한 진술로되지 않을 때 행동을 수행 할 확률이 행동이 수행 될 확률과 같다고 믿는 데서 비롯됩니다. 다르게 표현하면 문제의 상황과 상황에 따라 '올바른 선택'의 확률은 '올바른 선택'의 확률과 동일하지 않을 수 있습니다.

잠자는 숲속의 미녀 문제와 비슷합니다. 꼬리의 경우에 두 번 깨어나지 않았지만 백만 번인 경우, "지금 현재 겪고있는 현재 깨어 난 깨달음은 머리에서 나온 그 하나의 각성에 부딪친 것보다 꼬리 던지기로 인한 수백만 번의 각성 " 그것이 공정한 동전이라는 주장은 여기와 아무 관련이 없습니다. 공정한 동전은 머리를 '던질'가능성, 즉 동전을 처음 던질 때 백만 번 깨워 야 할 확률을 알려줍니다. 따라서 실험 전에 SB에게 던지기 전에 한 번 또는 백만 번 잠을 자도록 요청할 경우 '정확하게 선택'할 확률은 실제로 50 %입니다.

그러나 그 시점부터 계속되는 실험과 SB가 현재 어떤 실험을하고 있는지 깨달았다는 사실을 알았을 때, 그녀가 깨어 났을 때 헤드를 던질 확률은 훨씬 적습니다. 한 번의 깨달음보다 백만 번의 깨우침에서 깨어났습니다.

이것은 문제의 문구에 따라 연속적인 실험을 의미합니다. SB가 실험 시작부터 단 하나의 실험 (즉, 하나의 toin coss) 만있을 것이라는 확신을 가지면, 그녀의 신념은 어느 시점에서든 깨어 났을 수 있다는 사실 때문에 50 %로 되돌아갑니다. 지금까지 여러 번 관련이 없습니다. 다시 말해, 이와 관련하여 '정확하게 선택'하고 '정확하게 선택'할 확률은 다시 동일하게됩니다.

또한 '베팅'을 사용하는 모든 표현은 컨텍스트를 완전히 바꾸는 다른 질문입니다. 예를 들어, 한 번의 실험에서도 정확하게 추측 할 때마다 돈을 벌었다면 분명히 꼬리를 찾으러 갈 것입니다. 그러나 이것은 꼬리의 확률이 머리와 다르기 때문에 예상되는 보상이 높기 때문입니다. 따라서 베팅을 소개하는 '솔루션'은 문제를 매우 특정한 해석으로 접을 수있는 범위에서만 유효합니다.

SB는 잠들기 전에 다음 코인 플립이 머리가 될 확률은 1/2이라고 생각합니다. 그녀가 깨어 난 후, 그녀는 가장 최근의 동전 던지기가 머리 일 가능성이 1/3이라고 생각합니다. 각성 및 코인 플립간에 일대일 대응이 없기 때문에 이러한 이벤트는 동일하지 않습니다.

다음 솔루션은 어떻습니까?

문제는 동전이 "머리"가 올 확률을 평가하는 것입니다. 따라서 잠자는 숲속의 미녀가 월요일에 깨어 났고 어느 날인지 알면 실제로 "머리"의 확률이 50 %라고 믿어야합니다.

그러나 그녀가 화요일에 깨어 났고 어느 날인지 알았을 때 동전이 올 확률은 0 일 것입니다.

따라서, 요일에 대한 지식은 "머리"의 확률을 변화시키는 중요한 정보를 추가합니다.

그러나 잠자는 숲속의 미녀는 어느 날이 깨어날 지 모른다. 따라서 월요일 또는 화요일에 각각 깨어날 확률을 결정해야합니다.

먼저 화요일이 될 확률을 고려해 봅시다. 실험자가 동전을 뒤집 으면 결과에 따라 실험의 시나리오가 결정됩니다. 그것이 머리라면 SB는 월요일에만 깨어납니다. 꼬리가 있으면 월요일과 화요일에 깨어났다. 이러한 경로 중 하나를 취하는 실험의 확률은 분명히 50/50입니다. 이제 우리가 "두 깨어남"지점에 있다면 SB가 깨어날 화요일이나 월요일 일 확률은 모두 50 %입니다. 따라서 SB가 0.5 * 0.5 = 0.25로 깨어날 때 화요일 일 총 확률을 계산할 수 있습니다. 분명히, 그녀가 월요일에 일어날 확률은 1-0.25 = 0.75입니다.

SB가 화요일에 일어났다는 것을 알았다면, 동전이 "머리"가 될 확률은 0이었을 것이다.

그러나 만약 그녀가 월요일에 일어났다는 것을 알았다면, 동전이 "머리"에 올 확률은 50 % 일 것입니다. 그러나 월요일 일 확률은 0.75입니다. 따라서 동전이 "머리"가 될 가능성을 확인하려면 0.75 * 0.5 = 0.375를 곱해야합니다.

따라서 동전이 "머리"로 나올 확률은 37.5 %입니다.

위는 단지 제안 일뿐입니다. 내 추리에 결함이 있으면 지적하십시오.