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혼란 스러워요. ARMA와 GARCH 프로세스의 차이점을 이해하지 못합니다.

다음은 (G) ARCH (p, q) 프로세스입니다

σ_{t}^{2} = \underset{G A R C H}{\underset{⏟}{\underset{A R C H}{\underset{⏟}{α_{0} + \sum_{i = 1}^{q} α_{i} r_{t - i}^{2}}} + \sum_{i = 1}^{p} β_{i} σ_{t - i}^{2}}}

$\sigma_t^2 = \underbrace{ \underbrace{ \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_ir_{t-i}^2} _{ARCH} + \sum_{i=1}^p\beta_i\sigma_{t-i}^2} _{GARCH}$

그리고 여기 ARMA ( )가 있습니다 : $p, q$

X_{t} = c + ε_{t} + \sum_{i = 1}^{p} φ_{i} X_{t - i} + \sum_{i = 1}^{q} θ_{i} ε_{t - i} .

$X_t = c + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}.\,$

ARMA는 단순히 GARCH의 확장입니까, GARCH는 반환에만 사용되며 가정합니다. 여기서 은 강한 흰색 프로세스를 따릅니다. $r = \sigma\varepsilon$ $\varepsilon$

arima garch finance

— 남자
소스

1

fg nu의 답변 외에도 GARCH의 분산 프로세스는 시간에 따라 다릅니다. 그러나 여기서 SP500의 시계열 로그 리턴을 고려할 때 변동성 프로세스를 확보하려면 어떻게해야합니까? 어떤 사람들은 ARMA 모델을 사용하여 잔차 계열을 철회 한 다음이 잔차 계열을 GARCH 모델에 연결하여 조건부 분산 프로세스를 구해야한다고 말합니다. 또는 로그 리턴을 직접 연결 조건부 분산을 얻기 위해 SP500의 로그 리턴 프로세스를 GARCH 모델에 꽂습니까?

48

프로세스의 기능을 표현으로 혼동시키고 있습니다. (반환) 프로세스 . $(Y_t)_{t=0}^\infty$

ARMA (p, q) 모델 은 프로세스 의 조건 평균 을 다음과 같이 지정합니다.

\begin{aligned} E (Y_{t} ∣ I_{t}) & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j}+ \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k}\\ \end{align}$ 여기서, 시간의 정보 세트이다 되면, -algebra 결과 공정의 지연된 값에 의해 생성 된 .

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

GARCH (r, s) 모델 은 프로세스 의 조건부 분산 을 지정합니다. $\begin{aligned} V (Y_{t} ∣ I_{t}) & = & V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) \\ \equiv & σ_{t}^{2} & = & δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{j} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{k} ϵ_{t - m}^{2} \end{aligned}$ $\begin{alignat}{2} & \mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &{}={}& \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) \\ \equiv \,& \sigma^2_t&{}={}& \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_j \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_k \epsilon^2_{t-m} \end{alignat}$

특히 첫 번째 동등성 . $\mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t)= \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t)$

이외에도 이 표현을 바탕으로, 당신은 쓸 수 곳 강한 백색 잡음 과정이지만이 과정이 정의 된 방식을 따른다.

ϵ_{t} \equiv σ_{t} Z_{t}

$\epsilon_t \equiv \sigma_t Z_t$

Z_{t}

$Z_t$

조건의 평균과 분산에 대한 두 모델은 공정 평균을 ARMA로, 분산을 GARCH로 모델링 할 수 있다는 점에서 서로 완벽하게 호환됩니다. 이는 다음 표현과 같이 프로세스에 대한 ARMA (p, q) -GARCH (r, s) 모델의 완전한 스펙으로 이어집니다. $\begin{aligned} Y_{t} & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} + ϵ_{t} \\ E (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = 0, \forall t \\ V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{l} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{m} ϵ_{t - m}^{2} \forall t \end{aligned}$ $\begin{align} Y_t &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j} + \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k} +\epsilon_t\\ \mathbb{E}(\epsilon_t\mid \mathcal{I}_t) &=0,\, \forall t \\ \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) &= \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_l \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_m \epsilon^2_{t-m}\, \forall t \end{align}$

— 차크라 바티
소스

모든 회귀자가 지연된 경우 시간 에서 정보를 조정해서는 안 됩니까?

t - 1

$t-1$

— Jase

상기 정의를 참고 @Jase "여기 시간의 정보 세트이다 되면, -algebra 의해 생성되는 지연된 값 결과 과정 ." 즉, 입니다. 일부 작성자는 이것을 쓰지만 시간 설정된 정보의 개념과 반대 입니다.

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

I_{t} = σ (Y_{t - 1}, Y_{t - 2} \dots,)

$\mathcal{I}_t = \sigma(Y_{t-1}, Y_{t-2}\ldots,)$

I_{t - 1}

$\mathcal{I}_{t-1}$ $t$

— tchakravarty

좋은! 여과가 아닌 시그마 대수를 사용하는 이유를 알고 있습니까?

— Jase

1

@Jase, 일련의 정보 세트 는 필터링을 구성 합니다 .

(I_{t})_{t = 0}^{\infty}

$(\mathcal{I}_t)_{t=0}^\infty$

— tchakravarty

15

편집 : 나는 대답이 부족하다는 것을 깨달았고 더 정확한 대답을 제공했습니다 (아래 또는 위 참조). 나는 사실 실수로 이것을 편집하고 기록을 위해 남겨두고 있습니다.

다른 초점 매개 변수 :

ARMA는 프로세스의 조건 평균 의 특정 구조를 부과하는 확률 적 프로세스의 실현을위한 모델입니다 .
GARCH는 프로세스의 조건부 분산 의 특정 구조를 부과하는 확률 적 프로세스의 실현을위한 모델입니다 .

~~확률 론적 모델과 결정 론적 모델 :~~

ARMA는 인 확률 모델 확률 프로세스의 실현 - - 지연된 종속 변수 지연된 모델 오차 (조건부 평균)의 결정적 함수의 합으로서 규정된다 종속 변수가 있다는 점에서 와 스토캐스틱 오차항.
~~GARCH는 종속 변수 (프로세스의 조건부 분산) 가 지연된 변수 의 순전히 결정적인 함수 라는 점에서 결정적 모델 입니다 .~~

— 리차드 하디
소스

1

GARCH 프로세스의 조건부 분산은 정의 된 의미에서 결정 이고 는 지연과 무관 하므로 GARCH 프로세스는 이지 않습니다 .

r_{t} = σ_{t} ε_{t}

$r_t=\sigma_t\varepsilon_t$

ε_{t}

$\varepsilon_t$

t

$t$

— mpiktas

1

@mpiktas, 맞습니다. GARCH 모델에 조건부 평균 (위에 쓴 예)과 조건부 분산 (수학적으로는 모델의 "주요 방정식"은 아니지만 직관적 인 모델)에 대한 두 가지 방정식이 포함 된 경우 내 주장 만 적용됩니다. 후자의 방정식에.

— Richard Hardy

10

ARMA

ARMA ( ) 프로세스 를 따르는 를 고려하십시오 . 단순성을 위해 평균과 상수 분산이 0이라고 가정하십시오. 조건부 정보에 , 공지 (소정) 부분으로 분할 될 수 (조건부 평균 인 주어진 과 임의의 부분) : $y_t$ $p,q$ $I_{t-1}$ $y_t$ $\mu_t$ $y_t$ $I_{t-1}$ $u_t$

\begin{aligned} y_{t} & = μ_{t} + u_{t}; \\ μ_{t} & = φ_{1} y_{t - 1} + \dots + φ_{p} y_{t - p} + θ_{1} u_{t - 1} + \dots + θ_{q} u_{t - q} (known, predetermined); \\ u_{t} | I_{t - 1} & \sim D (0, σ^{2}) (random) \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &= \mu_t + u_t; \\ \mu_t &= \varphi_1 y_{t-1} + \dotsc + \varphi_p y_{t-p} + \theta_1 u_{t-1} + \dotsc + \theta_q u_{t-q} \ \ \text{(known, predetermined)}; \\ u_t | I_{t-1} &~\sim D(0,\sigma^2) \ \ \text{(random)} \\ \end{aligned}$

여기서 는 밀도입니다. $D$

조건부 평균 자체가 ARMA (유사한 방법으로 다음 )하지만 없이 랜덤 동시 오차항 : 여기서 ; 에 대한 ; 및 에 대한 . 이 프로세스는 와 같이 ( ) 대신 ( ) 순서를 갖습니다 . $\mu_t$ $p,q$

μ_{t} = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m},

$\mu_t = \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m},$

m := max (p, q)

$m:=\max(p,q)$

φ_{i} = 0

$\varphi_i=0$

i > p

$i>p$

θ_{j} = 0

$\theta_j=0$

j > q

$j>q$

p, m

$p,m$

p, q

$p,q$

y_{t}

$y_t$

또한 과거의 실현 된 값이 아닌 과거의 조건 적 수단과 모델 매개 변수로 의 조건부 분포를 쓸 수 있습니다. $y_t$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = σ^{2}, \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \sigma^2, \end{aligned}$

후자의 표현은 ARMA와 GARCH 및 ARMA-GARCH의 비교를 더 쉽게 만듭니다.

개치

GARCH ( ) 프로세스 를 따르는 를 고려하십시오 . 단순성을 위해 평균이 일정하다고 가정하십시오. 그때 $y_t$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = μ; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \mu; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

여기서 이고 는 밀도입니다. $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$

조건부 분산 ARMA (유사한 방법으로 다음 )하지만 없이 랜덤 동시 오류 용어. $\sigma_t^2$ $s,r$

ARMA- 가치

고려 무조건 제로 평균을 가지며, ARMA (이하 즉 ) -GARCH ( ) 프로세스. 그때 $y_t$ $p,q$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

여기서 ; 는 어떤 밀도, 예를 들어 보통이며; 에 대한 ; 및 에 대한 . $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$ $\varphi_i=0$ $i>p$ $\theta_j=0$ $j>q$

조건부 평균 인해 ARMA로 프로세스는 본질적으로 동일한 형상을 갖는 조건 변동 으로 인해 GARCH에있어서, 단지 지연 주문 (의 비제 무조건 평균 허용 다를 수 크게이 결과를 변경하지 않아야 참조). 중요한 것은, 둘 조건으로 한번 랜덤 오류 조건이없는 따라서, 모두 소정된다. $y_t$ $I_{t-1}$

— 리차드 하디
소스

3

ARMA 및 GARCH 프로세스는 프레젠테이션에서 매우 유사합니다. ARMA 프로세스가 오류 분산으로 가정 될 때 GARCH를 얻으므로 둘 사이의 구분선은 매우 얇습니다.

— 사용자
소스

GARCH와 ARMA의 차이점은 무엇입니까?

ARMA

개치

ARMA- 가치