다각형의 공분산 행렬을 찾는 방법은 무엇입니까?

좌표 집합 정의 된 다각형이 있고 질량 중심이 합니다. 다각형 경계를 사용하여 다각형을 균일 한 분포 로 취급 할 수 있습니다 . $(x_1,y_1)...(x_n,y_n)$$(0,0)$

다각형 의 공분산 행렬 을 찾는 방법을 따르고 있습니다.

다각형의 공분산 행렬이 면적 의 두 번째 모멘트 와 밀접한 관련이 있다고 생각 하지만, 동등한 지 여부는 확실하지 않습니다. 내가 연결 한 Wikipedia 기사에서 찾은 공식은 다각형의 주축이 아닌 x, y 및 z 축 주위의 회전 관성을 나타내는 것처럼 보입니다 (여기서 기사에서 특히 명확하지 않습니다).

(우연히, 누군가가 다각형의 주축을 계산하는 방법을 알려 줄 수 있다면 나에게도 유용 할 것입니다)

좌표에 대해 PCA를 수행 하려는 유혹이 있지만, 좌표가 다각형 주위에 반드시 균등하게 분산 될 필요가 없으므로 다각형의 밀도를 나타내지 않는 문제가 발생합니다. 극단적 인 예는 노스 다코타 (North Dakota)의 개요입니다. 다각형은 레드 리버 (Red River) 다음에있는 많은 수의 포인트와주의 서쪽 가장자리를 정의하는 두 개의 포인트로 정의됩니다.

먼저 몇 가지 분석을 해보자.

다각형 에서 확률 밀도는 비례 함수 비례 상수 는 다각형에 대한 의 적분의 역수입니다.$\mathcal{P}$$p(x,y).$$p$

$$\mu_{0,0}(\mathcal{P})=\iint_{\mathcal P} p(x,y) \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.$$

다각형 의 중심 은 첫 번째 모멘트로 계산 된 평균 좌표 점입니다. 첫 번째는

$$\mu_{1,0}(\mathcal{P})=\frac{1}{\mu_{0,0}(\mathcal{P})} \iint_{\mathcal P} x\,p(x,y)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.$$

관성 텐서는 원점에 그 중심 좌표를 넣어 다각형 번역 후 계산 번째 모멘트의 대칭 배열로 표현 될 수있다 : 즉, 행렬의 중심부 번째 순간

$$\mu^\prime_{k,l}(\mathcal{P}) = \frac{1}{\mu_{0,0}(\mathcal{P})} \iint_{\mathcal P} \left(x - \mu_{1,0}(\mathcal{P})\right)^k\,\left(y - \mu_{0,1}(\mathcal{P})\right)^l\,p(x,y)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$$

여기서 은 에서 에서 텐서 itself-- 일명 공분산 행렬은 -입니다$(k,l)$$(2,0)$$(1,1)$$(0,2).$

$$I(\mathcal{P}) = \pmatrix{\mu^\prime_{2,0}(\mathcal{P}) & \mu^\prime_{1,1}(\mathcal{P}) \\ \mu^\prime_{1,1}(\mathcal{P}) & \mu^\prime_{0,2}(\mathcal{P})}.$$

의 PCA는 주축 을 산출합니다 이들은 고유 값으로 스케일 된 단위 고유 벡터입니다.$I(\mathcal{P})$$\mathcal{P}:$

---

다음으로 계산 방법을 알아 보겠습니다. 다각형은 방향 경계 설명하는 일련의 꼭짓점으로 표시되므로 호출하는 것이 당연합니다.$\partial\mathcal P,$

녹색 정리 : 여기서 는 및 근처에 정의 된 단일 형식입니다.

$$\iint_{\mathcal{P}} \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial\mathcal{P}}\omega$$ $\omega = M(x,y)\mathrm{d}x + N(x,y)\mathrm{d}y$$\mathcal{P}$ $$\mathrm{d}\omega = \left(\frac{\partial}{\partial x}N(x,y) - \frac{\partial}{\partial y}M(x,y)\right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.$$

예를 들어, 및 일정한 ( 즉 , 균일 한) 밀도 검사를 통해 여러 가지 중 하나를 선택할 수 있습니다 와 같은 솔루션$\mathrm{d}\omega = x^k y^l \mathrm{d}x\mathrm{d}y$$p,$

$$\omega(x,y) = \frac{-1}{l+1}x^k y^{l+1}\mathrm{d}x.$$

요점은 형상 적분이 정점 시퀀스에 의해 결정된 선분을 따른다는 것입니다. 정점 에서 정점 까지의 모든 선분 은 형식 의 실수 변수 에 의해 매개 변수화 될 수 있습니다$\mathbf{u}$$\mathbf{v}$$t$

$$t \to \mathbf{u} + t\mathbf{w}$$

여기서 는 에서 로의 단위 법선 방향입니다따라서 의 값 범위는 에서 이 매개 변수화에서 와 는 선형 함수 이고 와 는 의 선형 함수입니다 따라서 각 모서리에 걸친 적분의 적분은 다항식 함수 가됩니다.$\mathbf{w} \propto \mathbf{v}-\mathbf{u}$$\mathbf{u}$$\mathbf{v}.$$t$$0$$|\mathbf{v}-\mathbf{u}|.$$x$$y$$t$$\mathrm{d}x$$\mathrm{d}y$$\mathrm{d}t.$$t,$ 작은 것으로 쉽게 평가됩니다 $k$ 과 $l.$

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이 분석을 구현 하는 것은 구성 요소를 코딩하는 것만 큼 간단합니다. 가장 낮은 수준에서 우리는 선분에 다항식 한 형태를 통합하는 함수가 필요합니다. 더 높은 수준의 함수는 이들을 모아 중심 및 관성 텐서를 얻기 위해 원시 및 중심 모멘트를 계산하며, 마지막으로 텐서에서 작동하여 주 축 (축척 된 고유 벡터)을 찾을 수 있습니다. R수행 아래 코드이 작동합니다. 그것은 효율성을 강조하지 않습니다. 그것은 전술 한 분석의 실제 적용만을 설명하기위한 것입니다. 각 기능은 간단하며 명명 규칙은 분석 기능과 유사합니다.

이 코드에는 유효한 폐쇄 형, 간단하게 연결된 비 자체 교차 다각형을 생성하는 절차가 포함되어 있습니다 (원형을 따라 점을 임의로 변형하고 시작 정점을 최종 점으로 포함하여 폐쇄 루프를 생성 함). 다음은 폴리곤을 플로팅하고 정점을 표시하고 바리 센터에 인접하며 주축을 빨간색 (최대) 및 파란색 (최소)으로 표시하여 다각형 중심의 양의 방향 좌표계를 작성하는 몇 가지 명령문입니다.

#
# Integrate a monomial one-form x^k*y^l*dx along the line segment given as an 
# origin, unit direction vector, and distance.
#
lintegrate <- function(k, l, origin, normal, distance) {
  # Binomial theorem expansion of (u + tw)^k
  expand <- function(k, u, w) {
    i <- seq_len(k+1)-1
    u^i * w^rev(i) * choose(k,i)
  }
  # Construction of the product of two polynomials times a constant.
  omega <- normal[1] * convolve(rev(expand(k, origin[1], normal[1])), 
                                expand(l, origin[2], normal[2]),
                                type="open")
  # Integrate the resulting polynomial from 0 to `distance`.
  sum(omega * distance^seq_along(omega) / seq_along(omega))
}
#
# Integrate monomials along a piecewise linear path given as a sequence of
# (x,y) vertices.
#
cintegrate <- function(xy, k, l) {
  n <- dim(xy)[1]-1 # Number of edges
  sum(sapply(1:n, function(i) {
    dv <- xy[i+1,] - xy[i,]               # The direction vector
    lambda <- sum(dv * dv)
    if (isTRUE(all.equal(lambda, 0.0))) {
      0.0
    } else {
      lambda <- sqrt(lambda)              # Length of the direction vector
      -lintegrate(k, l+1, xy[i,], dv/lambda, lambda) / (l+1)
    }
  }))
}
#
# Compute moments of inertia.
#
inertia <- function(xy) {
  mass <- cintegrate(xy, 0, 0)
  barycenter = c(cintegrate(xy, 1, 0), cintegrate(xy, 0, 1)) / mass
  uv <- t(t(xy) - barycenter)   # Recenter the polygon to obtain central moments
  i <- matrix(0.0, 2, 2)
  i[1,1] <- cintegrate(uv, 2, 0)
  i[1,2] <- i[2,1] <- cintegrate(uv, 1, 1)
  i[2,2] <- cintegrate(uv, 0, 2)
  list(Mass=mass,
       Barycenter=barycenter,
       Inertia=i / mass)
}
#
# Find principal axes of an inertial tensor.
#
principal.axes <- function(i.xy) {
  obj <- eigen(i.xy)
  t(t(obj$vectors) * obj$values)
}
#
# Construct a polygon.
#
circle <- t(sapply(seq(0, 2*pi, length.out=11), function(a) c(cos(a), sin(a))))
set.seed(17)
radii <- (1 + rgamma(dim(circle)[1]-1, 3, 3))
radii <- c(radii, radii[1])  # Closes the loop
xy <- circle * radii
#
# Compute principal axes.
#
i.xy <- inertia(xy)
axes <- principal.axes(i.xy$Inertia)
sign <- sign(det(axes))
#
# Plot barycenter and principal axes.
#
plot(xy, bty="n", xaxt="n", yaxt="n", asp=1, xlab="x", ylab="y",
     main="A random polygon\nand its principal axes", cex.main=0.75)
polygon(xy, col="#e0e0e080")
arrows(rep(i.xy$Barycenter[1], 2), 
       rep(i.xy$Barycenter[2], 2),
       -axes[1,] + i.xy$Barycenter[1],     # The -signs make the first axis .. 
       -axes[2,]*sign + i.xy$Barycenter[2],# .. point to the right or down.
       length=0.1, angle=15, col=c("#e02020", "#4040c0"), lwd=2)
points(matrix(i.xy$Barycenter, 1, 2), pch=21, bg="#404040")

편집 : whuber가 이미 응답했음을 알지 못했습니다. 나는 이것을 문제에 대한 또 다른 (아마도 우아하지 않은) 접근법의 예로 남겨 둘 것이다.

공분산 행렬

허락하다 $(X,Y)$ 다각형의 균일 분포에서 랜덤 포인트 $P$ 지역으로 $A$. 공분산 행렬은 다음과 같습니다.

$$C = \begin{bmatrix} C_{XX} & C_{XY} \\ C_{XY} & C_{YY} \end{bmatrix}$$

어디 $C_{XX} = E[X^2]$ 의 분산입니다 $X$, $C_{YY} = E[Y^2]$ 의 분산입니다 $Y$, $C_{XY} = E[XY]$ 사이의 공분산입니다 $X$ 과 $Y$. 다각형의 질량 중심이 원점에 있기 때문에 평균이 0이라고 가정합니다. 균일 분포는 일정한 확률 밀도를 할당합니다$\frac{1}{A}$ 모든 지점에 $P$따라서 :

$$C_{XX} = \frac{1}{A} \underset{P}{\iint} x^2 dV \quad C_{YY} = \frac{1}{A} \underset{P}{\iint} y^2 dV \quad C_{XY} = \frac{1}{A} \underset{P}{\iint} x y dV \tag{1}$$

삼각 분할

복잡한 지역에 직접 통합하려고하는 대신 $P$파티셔닝을 통해 문제를 단순화 할 수 있습니다. $P$ 으로 $n$ 삼각 소구역 :

$$P = T_1 \cup \cdots \cup T_n$$

귀하의 예에서 가능한 파티션은 다음과 같습니다.

삼각 분할을 생성하는 다양한 방법이 있습니다 ( 여기 참조 ). 예를 들어 정점 의 들로네 삼각 분할 (Delaunay Triangulation) 을 계산 한 다음 바깥쪽으로 떨어지는 모서리를 버릴 수 있습니다.$P$( 예와 같이 볼록 하지 않을 수 있으므로 ).

적분 $P$ 그런 다음 삼각형 위에 적분의 합계로 나눌 수 있습니다.

$$C_{XX} = \frac{1}{A} \sum_{i=1}^n \underset{T_i}{\iint} x^2 dV \quad C_{YY} = \frac{1}{A} \sum_{i=1}^n \underset{T_i}{\iint} y^2 dV \quad C_{XY} = \frac{1}{A} \sum_{i=1}^n \underset{T_i}{\iint} x y dV \tag{2}$$

삼각형에는 멋지고 간단한 경계가 있으므로 이러한 적분을 쉽게 평가할 수 있습니다.

삼각형에 통합

삼각형을 통합하는 다양한 방법이 있습니다. 이 경우 삼각형을 단위 사각형에 매핑하는 트릭 을 사용했습니다 . Barycentric Coordint로 변환 하는 것이 더 나은 옵션 일 수 있습니다.

임의의 삼각형에 대한 위의 적분에 대한 솔루션은 다음과 같습니다. $T$ 꼭짓점으로 정의 $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$. 허락하다:

$$v_x = \left[ \begin{smallmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{smallmatrix} \right] \quad v_y = \left[ \begin{smallmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{smallmatrix} \right] \quad \vec{1} = \left[ \begin{smallmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{smallmatrix} \right] \quad L = \left[ \begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix} \right]$$

그때:

$$\underset{T}{\iint} x^2 dV = \frac{A}{6} \text{Tr}(v_x v_x^T L) \quad \underset{T}{\iint} y^2 dV = \frac{A}{6} \text{Tr}(v_y v_y^T L) \quad \underset{T}{\iint} x y dV = \frac{A}{12} (\vec{1}^T v_x v_y^T \vec{1} + v_x^T v_y) \tag{3}$$

Putting everything together

Let $v_x^i$ and $v_y^i$ contain the x/y coordinates of the vertices for each triangle $T_i$, as above. Plug $(3)$ into $(2)$ for each triangle, noting that the area terms cancel out. This gives the solution:

$$C_{XX} = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^n \text{Tr} \big( v_x^i (v_x^i)^T L \big) \quad C_{YY} = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^n \text{Tr} \big( v_y^i (v_y^i)^T L \big) \quad C_{XY} = \frac{1}{12} \sum_{i=1}^n \big( \vec{1}^T v_x^i (v_y^i)^T \vec{1} + (v_x^i)^T v_y^i \big) \tag{4}$$

Principal axes

The principal axes are given by the eigenvectors of the covariance matrix $C$, just as in PCA. Unlike PCA, we have an analytic expression for $C$, rather than having to estimate it from sampled data points. Note that the vertices themselves are not a representative sample from the uniform distribution on $P$, so one can't simply take the sample covariance matrix of the vertices. But, $C$ *is* a relatively simple function of the vertices, as seen in $(4)$.