두 표준이 공통 표준 편차의 두 배 이상 차이가 나면 정규 분포 변수 두 개가 왜 이봉만 혼합됩니까?

두 정규 분포의 혼합에서 :

https://ko.wikipedia.org/wiki/Multimodal_distribution#Mixture_of_two_normal_distributions

"정규 분포가 두 개인 혼합은 추정 할 매개 변수가 다섯 개입니다. 두 가지 평균, 두 가지 분산 및 혼합 모수. 동일한 표준 편차를 갖는 두 개의 정규 분포의 혼합은 평균 표준 편차의 두 배 이상 차이가 나는 경우에만 양봉입니다. "

왜 이것이 사실인지에 대한 파생 또는 직관적 인 설명을 찾고 있습니다. 나는 그것이 두 개의 샘플 t 테스트 형태로 설명 될 수 있다고 생각합니다.

$$\frac{\mu_1-\mu_2}{\sigma_p}$$

여기서 는 풀링 된 표준 편차입니다.$\sigma_p$

해당 위키 기사에 링크 된 논문의이 그림은 다음과 같은 멋진 그림을 제공합니다.

그들이 제공하는 증거는 정규 분포가 평균의 하나의 SD 내에서 오목하다는 사실에 근거합니다 (SD는 일반 PDF의 변곡점이며 오목에서 볼록으로 변합니다). 따라서 두 개의 일반 pdf를 함께 (동일한 비율로) 추가하면 평균이 두 개의 SD보다 작은 경우 합 -pdf (즉, 혼합물)는 두 평균 사이의 영역에서 오목하게됩니다. 전체 최대 값은 두 평균 간의 정확한 지점에 있어야합니다.

참고 자료 : Schilling, MF, Watkins, AE, & Watkins, W. (2002). 인간 높이 바이 모달입니까? 미국 통계 학자, 56 (3), 223–229. 도 : 10.1198 / 00031300265

이것은 그림이 속일 수있는 경우입니다. 이 결과는 일반 혼합물 의 특수한 특성이기 때문입니다 . 구성 요소가 대칭 단봉 분포 일지라도 아날로그가 다른 혼합물을 반드시 유지할 필요는 없습니다! 예를 들어, 공통 표준 편차의 두 배 미만으로 분리 된 두 개의 Student t 분포가 동일하게 혼합되면 양봉이됩니다. 실제 통찰력을 얻으려면 정규 분포의 특수 속성에 수학을하거나 호소해야합니다.

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구성 요소 분포의 평균을 $\pm\mu,$ $\mu\ge 0,$ 하고 공통 분산을 만들려면 측정 단위 (필요에 따라 최근 조정 및 재조정)를 선택하십시오 . 하자 $p,$ $0 \lt p \lt 1,$ 혼합물에서 더 큰 평균 성분의 금액. 이를 통해 혼합물 밀도를 전체 일반 도로

$$\sqrt{2\pi}f(x;\mu,p) = p \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2}\right) + (1-p) \exp\left(-\frac{(x+\mu)^2}{2}\right).$$

여기서, 두 성분의 밀도가 증가하기 때문에 $x\lt -\mu$ 및 감소 여기서 $x\gt \mu,$ 가능한 유일한 모드 여기서 발생 $-\mu\le x \le \mu.$x 와 관련하여 $f$ 를 구별 하고 0으로 설정 하여 찾으십시오 . 우리가 얻는 양의 계수 지우기$x$

$$0 = -e^{2x\mu} p(x-\mu) + (1-p)(x+\mu).$$

$f$ 의 2 차 도함수로 유사한 연산을 수행 하고 $e^{2x\mu}$ 를 위의 방정식으로 결정된 값으로 대체 하면 임계점에서 2 차 도함수의 부호는

$$f^{\prime\prime}(x;\mu,p) \propto \frac{(1+x^2-\mu^2)}{x-\mu}.$$

$-\mu\lt x \lt \mu,$ 때 분모가 음수이므로 $f^{\prime\prime}$ 의 부호 는 $-(1-\mu^2 + x^2).$ 의 부호입니다 . 이 때 분명하다 $\mu\le 1,$ 부호는 음수가 될 수 있어야합니다. 그러나 멀티 모달 분포에서는 밀도가 연속적이기 때문에 부호가 음이 아닌 두 모드 사이 에 안티 모드 가 있어야합니다 . 따라서 $\mu$ 가 $1$ 보다 작은 경우 (SD) 분포는 단봉이 아니 어야합니다.

수단의 분리 때문에 $2\mu,$ 이 분석의 결론은

평균이 공통 표준 편차의 두 배 이하로 분리 될 때마다 정규 분포의 혼합은 단조롭습니다.

그것은 문제의 진술과 논리적으로 동일합니다.

연속성을 위해 여기에 붙여 넣은 주석 :

"[F] 일반적으로 동일한 SD σ를 갖는 두 개의 정규 분포가 50:50 인 혼합의 경우 밀도

$$f(x)=0.5g_1(x)+0.5g_2(x)$$ 를 전체 형태로 쓰면 변수 사이에서 평균 간의 거리가 2σ 아래에서 위로 증가 할 때 두 번째 미분 값이 두 평균 사이의 중간 점에서 부호가 있음을 알 수 있습니다. "

댓글 계속 :

각각의 경우에 '혼합 된'인 두 정상 곡선이 $\sigma=1.$ 수단은 사이의 거리를 왼쪽에서 오른쪽으로 $3\sigma, 2\sigma,$ 및 $\sigma,$ 각각이. 중간 점 (1.5)에서의 혼합물 밀도의 오목 함은 평균에서 0으로, 양으로 변경된다.

그림의 R 코드 :

par(mfrow=c(1,3))
  curve(dnorm(x, 0, 1)+dnorm(x,3,1), -3, 7, col="green3", 
    lwd=2,n=1001, ylab="PDF", main="3 SD: Dip")
  curve(dnorm(x, .5, 1)+dnorm(x,2.5,1), -4, 7, col="orange", 
    lwd=2, n=1001,ylab="PDF", main="2 SD: Flat")
  curve(dnorm(x, 1, 1)+dnorm(x,2,1), -4, 7, col="violet", 
    lwd=2, n=1001, ylab="PDF", main="1 SD: Peak")
par(mfrow=c(1,3))