로그 정규 확률 변수에 대해 달성 가능한 상관 관계

log ( X 1 ) ∼ N ( 0 , 1 ) 및 로그 정규 확률 변수 $X_1$ 및 $X_2$ 를 고려하십시오 .$\log(X_1)\sim \mathcal{N}(0,1)$$\log(X_2)\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$

\ rho (X_1, X_2)에 대해 \ rho 및 \ rho _ {\ min} 을 계산하려고합니다 . 주어진 솔루션의 한 단계는 다음과 같습니다.$\rho_{\max}$$\rho_{\min}$$\rho (X_1,X_2)$

$\rho_{\max}=\rho (\exp(Z),\exp(\sigma Z))$ 및 $\rho_{\min}=\rho (\exp(Z),\exp(-\sigma Z))$ ,

그러나 그들은 comonotonicity와 countercomonotonicity를 언급했습니다. 나는 누군가가 내가 어떻게 관련되는지 이해하도록 도와주기를 바랐다. (나는 이것을 일반적인 표현에서 얻는 방법을 알고 있지만 공통성 부분이 무엇을 말하고 있는지 구체적으로 알고 싶습니다.)

comonotonicity 및 countermonotonicity 의 정의를 제공하는 것으로 시작하겠습니다 . 그런 다음 이것이 왜 두 랜덤 변수 사이의 최소 및 최대 상관 계수를 계산하는 것과 관련이 있는지 언급하겠습니다. 마지막으로, 로그 정규 확률 변수 $X_1$ 및 대한 이러한 범위를 계산합니다 $X_2$.

Comonotonicity and countermonotonicity
임의의 변수 는 자신의 copula 가 Fréchet 상한 M ( u 1 , … , u d ) = min ( u 1 , … , u d ) 인 경우 공명 적이 라고합니다. "양성"의존의 가장 강한 유형. 이 도시 될 수 X 1 , ... , X의 $X_1, \ldots, X_d$ $M(u_1, \ldots, u_d) = \min(u_1, \ldots, u_d)$
$X_1, \ldots, X_d$아르 comonotonic 경우에만, Z는 어떤 랜덤 변수이고, H (1) , ... , 시간 D가 증가 함수 그리고 D = 분포 어떤지를 나타낸다. 따라서 comonotonic 랜덤 변수는 단일 랜덤 변수의 함수일뿐입니다.

$$(X_1, \ldots, X_d) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), \ldots, h_d(Z)),$$ $Z$$h_1, \ldots, h_d$$\stackrel{\mathrm{d}}{=}$

랜덤 변수 것으로 알려져있다 countermonotonic 그 접합부가있는 경우 하한 Fréchet W는 ( u는 1 , U (2) ) = 최대 ( 0 , U (1) + U (2) - 1 ) "의 가장 강한 형태 인 이변 량 사례에서 음성 "의존성. 반모 노노 시티는 더 높은 차원으로 일반화되지 않습니다. 이 것을 표시 할 수있는 X 1 , X 2는 경우 countermonotonic 한정해있다 $X_1, X_2$ $W(u_1, u_2) = \max(0, u_1 + u_2 - 1)$
$X_1, X_2$ 여기서 Z 는 임의의 변수이고, h 1 및 h 2 는 각각 증가 및 감소 함수이거나, 그 반대도 마찬가지입니다.

$$(X_1, X_2) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), h_2(Z)),$$ $Z$$h_1$$h_2$

달성 가능한 상관 관계
하자 및$X_1$ 엄격하게 정의 유한 차이 두 확률 변수, 그리고하자 ρ 분 및 ρ 최대 나타내고 사이의 최소 및 최대 수의 상관 계수 X 1 및 X 2 . 그런 다음에$X_2$$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$

• X 1 및 X 2 가 반상 조인 경우에만 ρ min ;${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\min}$$X_1$$X_2$
• X 1 및 X 2 가 공생 식인경우에만 ρ ${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\max}$$X_1$$X_2$

로그 정규 확률 변수가 달성 상관 관계를
구하는 우리와 경우에만 경우 최대 상관 관계가 달성된다는 사실 사용 X 1 및 X 2 comonotonic됩니다. 랜덤 변수 X 1 = e Z 및 X 2 = e $\rho_{\max}$$X_1$$X_2$$X_1 = e^{Z}$ Z~ N은 (0,1)지수 함수, 따라서 (엄밀)의 증가 함수이며, 이후 comonotonic있다 ρ 최대 = C O R R $X_2 = e^{\sigma Z}$$Z \sim {\rm N} (0, 1)$ .$\rho_{\max} = {\rm corr} \left (e^Z, e^{\sigma Z} \right )$

의 속성 사용 로그 정규 확률 변수를 , 우리가 , E ( E σ Z ) = E σ 2 / 2 , V R ( 전자 Z ) = E ( 전자 - 1 ) , (V) a r ( e σ Z ) = e σ 2 ( e ${\rm E}(e^Z) = e^{1/2}$${\rm E}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2/2}$${\rm var}(e^Z) = e(e - 1)$이고 공분산은 c o v ( e Z , e σ Z${\rm var}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1)$ 따라서 ρ

$$\begin{align} {\rm cov}\left (e^Z, e^{\sigma Z}\right ) &= {\rm E}\left (e^{(\sigma + 1) Z}\right ) - {\rm E}\left (e^{\sigma Z}\right ){\rm E}\left (e^Z\right ) \\ &= e^{(\sigma + 1)^2/2} - e^{(\sigma^2 + 1)/2} \\ &= e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ). \end{align}$$ $$\begin{align} \rho_{\max} & = \frac{ e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ e(e - 1) e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1) } } \\ & = \frac{ ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$$

사용한 유사한 계산$X_2 = e^{-\sigma Z}$

$$\begin{align} \rho_{\min} & = \frac{ ( e^{-\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$$

$\sigma$

위의 차트를 생성하는 데 사용한 R 코드입니다.

curve((exp(x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), from = 0, to = 5,
      ylim = c(-1, 1), col = 2, lwd = 2, main = "Lognormal attainable correlation",
      xlab = expression(sigma), ylab = "Correlation", cex.lab = 1.2)
curve((exp(-x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), col = 4, lwd = 2, add = TRUE)
legend(x = "bottomright", col = c(2, 4), lwd = c(2, 2), inset = 0.02,
       legend = c("Correlation upper bound", "Correlation lower bound"))
abline(h = 0, lty = 2)