평균 절대 편차가 표준 편차보다 작습니다.

이 정의와 함께 평균 절대 편차를 일반적인 경우 표준 편차와 비교하고 싶습니다.

M A D = \frac{1}{n - 1} \sum_{1}^{n} | x_{i} - μ |, S D = \sqrt{\frac{\sum_{1}^{n} (x_{i} - μ)^{2}}{n - 1}}

$MAD = \frac{1}{n-1}\sum_1^n|x_i - \mu|, \qquad SD = \sqrt{\frac{\sum_1^n(x_i-\mu)^2}{n-1}}$

어디 $\mu =\frac{1}{n}\sum_1^n x_i$ .

사실인가요? $MAD \le SD$ 모든 $\{x_i\}^n_1$ ?

그것은 거짓이다 $n=2$ 이므로 $x+y \ge \sqrt{x^2+y^2}$ 마다 $x, y \ge 0$ .

다음을 쉽게 알 수 있습니다.

미디엄 ㅏ 디 \leq \sqrt{\frac{엔}{엔 - 1}} \times 에스 디

$MAD \le \sqrt{\frac{n}{n-1}} \times SD$

mean standard-deviation mean-absolute-deviation

— 리스 베스
소스

답변:

아니요, 일반적으로 이것은 사실이 아닙니다.

이것을 보는 간단한 방법은 시뮬레이션하는 것입니다. 나는 일반적으로 반례를 찾으면 멈추는 무한 루프를 해킹합니다. 그것이 오랫동안 지속된다면, 나는 그 주장이 사실인지에 대해 생각하기 시작합니다. 현재의 경우 R 코드는 다음과 같습니다.

while ( TRUE ) {
    xx <- runif(3)
    mad <- sum(abs(xx-mean(xx)))/(length(xx)-1)
    sd <- sqrt(sum((xx-mean(xx))^2)/(length(xx)-1))
    if ( mad > sd ) break
}
xx

이 카운터 예제를 생성합니다.

[1] 0.7852480 0.0760231 0.8295893

— 스테판 콜라 사
소스

이것이 시뮬레이션을 사용하는 영리한 방법입니다! Jensen의 불평등으로 인해 결과가 항상 유지된다는 잘못된 대답을 피했습니다.

n - 1

$n-1$ 대신에

n

$n$

— CloseToC

그러나 아마도 아마도 비교할 수있는 대답이라고 생각합니다.

s_{n}

$s_n$ 평균 편차

n

$n$ 분모는 반례에 대한 맥락을 제공하기 때문에 유용 할 것이라고 생각합니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

좀 더 수학적 접근 방법이 있습니다. 첫째, 변수의 변경으로 평균이 0이라고 가정 할 수 있습니다. 확실히 반대의 예를 찾는 관점에서 볼 때 이것은 받아 들일 수 있습니다. 그래서 설정 $\mu = 0$ 제안 된 불평등의 양변을 제곱하고 (n-1)을 곱하면 제안 된 불평등이 남습니다.

$(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|)^2 \leq (n-1)(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|^2))$

비린내 보인다. (n-1)는 모든 것을 보충하기에 충분하지 않습니다. $|x_i| |x_j|$ 용어. 특히 모든 경우 $x_i$ 절대 값이 동일합니다. 내 첫 번째 추측은 n = 4이고 $x_1 = x_2 =1, x_3=x_4 = -1$ . 이로 인해 $\frac{4}{3} \leq \sqrt{\frac{4}{3}}$ . 이런 종류의 일은 불평등에 관심이있는 사람들에게 잘 알려져 있다고 생각합니다.

— meh
소스

모두를 위해

n

$n$ 당신은 당신의 구성을 사용할 수 있습니다

x_{i} = \pm 1

$x_i = \pm 1$ ) 및

미디엄 ㅏ 디 = \frac{엔}{엔 - 1} > \sqrt{\frac{엔}{엔 - 1}} = 에스 디

$MAD = \frac {n}{n-1} > \sqrt{\frac {n}{n-1}} = SD$ 따라서 사실이 아닙니다

M A D \leq S D

$MAD \leq SD$ 모든

x_{i}

$x_i$ .

— Sextus Empiricus

모든 홀수

n

$n$ 내 건설을 사용할 수 있습니다 (

x_{0} = - 2

$x_0=-2$ ,

x_{1} = x_{2} = 1

$x_1=x_2=1$ 그리고 다른 모든

x_{i} = \pm 1

$x_i = \pm1$ 더하기 빼기 빼기). 그럼 당신은

미디엄 ㅏ 디 = \frac{엔 + 1}{엔 - 1} > \sqrt{\frac{엔 + 삼}{엔 - 1}} = 에스 디

$MAD = \frac {n+1}{n-1} > \sqrt {\frac {n+3}{n-1}} = SD$ 를 곱하여 불평등을 명확히 할 수있는 곳

n - 1

$n-1$ 그리고 그것이 될 수 있도록 제곱

엔^{2} + 2 엔 + 1 = (엔 + 1)^{2} (엔 + 삼) (엔 - 1) = 엔^{2} + 2 엔 - 삼

$n^2+2n+1 = (n+1)^2 \> (n+3)(n-1) =n^2+2n-3$

— Sextus Empiricus

그러나 사실이 아닙니다

M A D > S D

$MAD > SD$ 가능한 모든

x_{i}

$x_i$ . 용어

| x_{i} | | x_{j} |

$|x_i| |x_j|$ (있어

n^{2}

$n^2$ 그들 중 하나)에 의해 구성 될 수 있습니다

(n - 1)

$(n-1)$ 충분한 수의 용어

x_{i}

$x_i$ 작습니다.

— Sextus Empiricus

@Martijn 내가 말하는 것은 약간의 대수를하는 것이 반례를 찾는 길을 지적했다는 것입니다. 나는 결코 생각하지 않으며, 불평등이 항상 거짓이거나 진실이라는 생각을했다고 생각하지도 않는다.

— meh

"(n-1)만으로는 충분하지 않습니다 ..."라는 의견이 조금 어려워요. 어떤 경우에는 충분할 수 있습니다.

— Sextus Empiricus