알려진 그룹 분산, 평균 및 표본 크기를 고려하여 둘 이상의 그룹의 풀 분산을 계산하는 방법은 무엇입니까?

요소가 두 그룹 ( 과 ) 으로 나뉘어 있다고 가정 합니다. 첫 번째 그룹의 분산은 이고 두 번째 그룹의 분산은 입니다. 요소 자체는 알 수없는 것으로 가정되지만 및 수단을 알고 있습니다. $m+n$ $m$ $n$ $\sigma_m^2$ $\sigma^2_n$ $\mu_m$ $\mu_n$

결합 분산 을 계산하는 방법이 있습니까? $\sigma^2_{(m+n)}$

분모가되도록 분산 바이어스 될 필요가 없다 아닌 . $(m+n)$ $(m+n-1)$

variance pooling

— 사용자 1809989
소스

이 그룹의 평균과 분산을 알면 매개 변수 또는 표본 값입니까? 그들은 샘플 수단이 경우 / 사용 안 편차를 와 ...

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— 조나단 크리스텐슨

방금 기호를 표현으로 사용했습니다. 그렇지 않으면 내 문제를 설명하기 어려웠을 것입니다.

— user1809989 2018

샘플 값의 경우 일반적으로 라틴 문자 (예 :

m

$m$ 및

s

$s$ )를 사용합니다. 그리스 문자는 일반적으로 매개 변수 용으로 예약되어 있습니다. "올바른"(예상) 기호를 사용하면보다 명확하게 의사 소통하는 데 도움이됩니다.

— Jonathan Christensen

걱정 마세요, 이제부터는 따를 게요! 건배

— user1809989

@Jonathan 이것은 샘플이나 추정에 대한 질문이 아니기 때문에

μ

$\mu$ 와

σ^{2}

$\sigma^2$ 가 데이터 배치의 경험적 분포의 실제 평균과 분산이라는 견해를

고려할 수 있습니다. 라틴 문자를 참조하십시오.

— whuber

답변:

평균의 정의를 사용하십시오

μ_{1 : 엔} = \frac{1}{엔} \sum_{나는 = 1}^{엔} {엑스}_{나는}

$\mu_{1:n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$

및 표본 분산

σ_{1 : n}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - μ_{1 : n})}^{2} = \frac{n - 1}{n} (\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - μ_{1 : n})}^{2})

$\sigma_{1:n}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(x_i - \mu_{1:n}\right)^2 = \frac{n-1}{n}\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(x_i - \mu_{1:n}\right)^2\right)$

모든 데이터 의 제곱 의 합 을 찾기 위해 ( 괄호 안의 마지막 용어는 종종 통계 소프트웨어에서 기본적으로 계산되는 편향 분산 추정량입니다 ) . 이 첫 번째 그룹의 요소를 지정하고 이 두 번째 그룹의 요소를 지정 하도록 인덱스 정렬합시다 . 그룹으로 제곱합을 나누고 데이터 부분 집합의 분산과 수단으로 두 조각을 다시 표현하십시오. $x_i$ $i$ $i=1,\ldots,n$ $i=n+1,\ldots,n+m$

\begin{aligned} (엠 + 엔) (σ_{1 : 엠 + 엔}^{2} + μ_{1 : 엠 + 엔}^{2}) & = \sum_{나는 = 1}^{1 : 엔 + 엠} {엑스}_{나는}^{2} \\ = \sum_{나는 = 1}^{엔} {엑스}_{나는}^{2} + \sum_{나는 = 엔 + 1}^{엔 + 엠} {엑스}_{나는}^{2} \\ = 엔 (σ_{1 : 엔}^{2} + μ_{1 : 엔}^{2}) + 엠 (σ_{1 + 엔 : 엠 + 엔}^{2} + μ_{1 + 엔 : 엠 + 엔}^{2}) . \end{aligned}

$\eqalign{ (m+n)(\sigma^2_{1:m+n} + \mu_{1:m+n}^2) &= \sum_{i=1}^{1:n+m} x_i^2 \\ &= \sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{i=n+1}^{n+m} x_i^2 \\ &= n(\sigma^2_{1:n} + \mu_{1:n}^2) + m(\sigma^2_{1+n:m+n} + \mu_{1+n:m+n}^2). }$

다른 (알려진) 수량 측면에서 에 대해 대수적으로 해결 $\sigma^2_{m+n}$

σ_{1 : m + n}^{2} = \frac{n (σ_{1 : n}^{2} + μ_{1 : n}^{2}) + m (σ_{1 + n : m + n}^{2} + μ_{1 + n : m + n}^{2})}{m + n} - μ_{1 : m + n}^{2} .

$\sigma^2_{1:m+n} = \frac{n(\sigma^2_{1:n} + \mu_{1:n}^2) + m(\sigma^2_{1+n:m+n} + \mu_{1+n:m+n}^2)}{m+n} - \mu^2_{1:m+n}.$

물론, 동일한 방법을 사용하여, 도 상기 그룹 수단으로 표현 될 수있다. $\mu_{1:m+n} = (n\mu_{1:n} + m\mu_{1+n:m+n})/(m+n)$

익명의 기고자는 표본 평균이 같을 때 ( ) 에 대한 해는 가중 평균임을 나타냅니다. 그룹 표본 분산 $\mu_{1:n}=\mu_{1+n:m+n}=\mu_{1:m+n}$ $\sigma^2_{m+n}$

— 우버
소스

"숙제"태그는 그 질문이 기본적이거나 어리 석다는 것을 의미하지는 않습니다. 연구 수준의 쿼리를 포함 할 수있는 자체 학습 질문에 사용됩니다. 일상적인 문맥 상 문제가없는 일반적인 질문 (일반적으로 수학 포럼에 적합 할 수있는 종류의 질문)과 특정 적용된 질문을 구분합니다.

— whuber

첫 번째 구절을 이해할 수 없습니다 :

특히 나는

이며

이 필요합니다

n (σ^{2} + μ^{2}) = \sum (x - μ)^{2} + n μ^{2} \overset{?}{=} \sum x^{2}

$n(\sigma^2+\mu^2) = \sum (x - \mu)^2 + n\mu^2 \stackrel{?}{=} \sum x^2$

\sum [(x - μ)^{2} + μ^{2}] = \sum [x^{2} - 2 x μ]

$\sum [(x-\mu)^2+\mu^2] = \sum [x^2-2x\mu]$

μ = 0

$\mu = 0$ 뭔가 빠졌습니까? 이것을 설명해 주시겠습니까?

— DarioP

@ 다리오

\sum (엑스 - μ)^{2} + 엔 μ^{2} = (\sum {엑스}^{2} - 2 μ \sum 엑스 + 엔 μ^{2}) + 엔 μ^{2} = \sum {엑스}^{2} - 2 엔 μ^{2} + 2 엔 μ^{2} = \sum {엑스}^{2} .

$\sum(x-\mu)^2+n\mu^2=(\sum x^2 - 2\mu\sum x + n \mu^2)+n\mu^2 = \sum x^2 - 2n\mu^2 + 2n\mu^2 = \sum x^2.$

— whuber

오, 그래, 나는 내 파생에서 바보 같은 기호 실수를 했어, 지금은 분명하다, 고마워!

— DarioP

각각의 평균과 분산이있는 한 임의의 수의 샘플로 확장 할 수 있다고 생각합니다. R에 풀링 (바이어스)의 표준 편차를 계산하는 것은 간단 sqrt(weighted.mean(u^2 + rho^2, n) - weighted.mean(u, n)^2)여기서 n, u및 rho동일한 길이의 벡터이다. 예 n=c(10, 14, 9)를 들어 세 가지 샘플의 경우

— Jonas Lindeløv

질문에 사용 된 표기법 대신이 답변에서 표본 평균 및 표본 분산에 표준 표기법을 사용합니다. 표준 표기법을 사용하여 O'Neill (2014) (결과 1) 에서 두 그룹의 풀링 된 표본 분산에 대한 또 다른 공식을 찾을 수 있습니다 .

\begin{aligned} {에스}_{풀링}^{2} & = \frac{1}{엔_{1} + 엔_{2} - 1} [(엔_{1} - 1) {에스}_{1}^{2} + (엔_{2} - 1) {에스}_{2}^{2} + \frac{엔_{1} 엔_{2}}{엔_{1} + 엔_{2}} ({\bar{엑스}}_{1} - {\bar{엑스}}_{2})^{2}] . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} s_\text{pooled}^2 &= \frac{1}{n_1+n_2-1} \Bigg[ (n_1-1) s_1^2 + (n_2-1) s_2^2 + \frac{n_1 n_2}{n_1+n_2} (\bar{x}_1 - \bar{x}_2)^2 \Bigg]. \\[10pt] \end{aligned} \end{equation}$

이 공식은 두 하위 그룹의 기본 표본 평균 및 표본 분산과 직접 작동하며 풀링 된 표본 평균의 중간 계산이 필요하지 않습니다. (연결된 용지의 결과 증명)

— 복원 모니카
소스

-3

예, 두 개 이상의 표본 그룹 각각의 평균, 표본 수 및 분산 또는 표준 편차를 고려하면 결합 된 그룹의 분산 또는 표준 편차를 정확하게 계산할 수 있습니다.

이 웹 페이지는 그 작동 방법과 작동 이유를 설명합니다. 또한 Perl의 소스 코드도 포함합니다 : http://www.burtonsys.com/climate/composite_standard_deviations.html

BTW는 위에 주어진 답변과 달리

\begin{aligned} 엔 (σ^{2} + μ^{2}) \neq \sum_{나는 = 1}^{엔} {엑스}_{나는}^{2} \end{aligned}

$\eqalign{ n(\sigma^2 + \mu^2) \space\space \ne \space\space \sum_{i=1}^n x_i^2 }$

예를 들어 R에서 직접 확인하십시오.

> x = rnorm (10,5,2)
> x
 [1] 6.515139 8.273285 2.879483 3.624233 6.199610 3.683164 4.921028 8.084591
 [9] 2.974520 6.049962
> 평균 (x)
[1] 5.320502
> sd (x)
[1] 2.007519
> 합 (x ** 2)
[1] 319.3486
> 10 * (평균 (x) ** 2 + sd (x) ** 2)
[1] 323.3787

— 데이브 버튼
소스

n-1 인자를 잊었 기 때문입니다. 예 : n * (mean (x) ** 2 + sd (x) ** 2 / (n) * (n-1))

— user603

user603, 지구상에서 무엇을 이야기하고 있습니까?

— Dave Burton

데이브, 수학은 소프트웨어보다 더 안정적인 선생님입니다. 이 경우 R숫자 집합의 표준 편차가 아닌 표준 편차의 바이어스되지 않은 추정값을 계산합니다. 예를 들어, 대신에을 sd(c(-1,1))반환합니다 . 대신에 예제를 사용해야 합니다. "해석1.4142141sqrt(9/10)*sd(x)sd(x)

σ

$\sigma$ 데이터 의 SD로 "

μ

$\mu$ " 데이터 의 평균으로 , BTW 발언이 잘못되었습니다.이를 보여주는 프로그램은 다음과 같습니다.n <- 10; x <- rnorm(n,5,2); m <- mean(x); s <- sd(x) * sqrt((n-1)/n); m2 <- sum(x^2); c(lhs=n * (m^2 + s^2), rhs=m2)

— whuber