정규 분포 분포 랜덤 변수 중 가장 큰 것은 무엇입니까?

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임의의 변수 있습니다. 평균 분포는 평균 이고 분산 입니다. RVS 일반적으로 평균 분산 이고 분산이 . 모든 것이 서로 독립적입니다. $X_0,X_1,\dots,X_n$ $X_0$ $\mu>0$ $1$ $X_1,\dots,X_n$ $0$ $1$

하자 하는 경우를 의미 ,이 중 가장 큰 즉, . 계산하거나 추정하고 싶습니다 . 에 대한 식 , 의 함수 또는 대한 합리적인 추정 또는 근사치를 찾고 있습니다. $E$ $X_0$ $X_0 > \max(X_1,\dots,X_n)$ $\Pr[E]$ $\Pr[E]$ $\mu,n$ $\Pr[E]$

내 응용 프로그램에서 $n$ 은 고정되어 있고 ( $n=61$ ) 만드는 의 가장 작은 값을 찾고 싶습니다 . 그러나 일반적인 질문에 대해서도 궁금합니다. $\mu$ $\Pr[E] \ge 0.99$

probability normal-distribution

— DW
소스

은 얼마나

n

$n$ 니까? 대표 본 이론을 바탕으로 좋은 점근 표현이 있어야합니다.

— whuber

@ whuber, 감사합니다! 나는 질문을 편집했다 : 내 경우에는

n = 61

$n=61$ . 하더라도

n = 61

$n=61$ 경우에 좋은 점근 적 추정이있는 경우, 대형으로 간주하는 큰 충분하지 않습니다

n

$n$ 큰 재미가 될 것입니다.

— DW

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수치 적분을 사용하면 입니다.

μ \approx 4.91912496

$\mu \approx 4.91912496$

— whuber

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이러한 확률의 계산은 ary orthogonal signaling 이라는 이름으로 통신 엔지니어들에 의해 광범위하게 연구되어 왔습니다. 여기서 모델은 등가 에너지 중 하나 일 가능성이있는 직교 신호 중 하나가 전송되고 수신기가 어떤 신호가 전송되었는지 결정하려고 시도하는 것입니다. 신호 와 일치 하는 필터의 출력 . 전송 된 신호의 동일성에 따라, 정합 된 필터의 샘플 출력은 (조건부) 독립 단위 분산 정규 랜덤 변수입니다. 전송 된 신호와 일치하는 필터의 샘플 출력은 랜덤 변수이고 다른 모든 필터의 출력은 $M$ $M$ $M$ $N(\mu,1)$ $N(0,1)$ 임의의 변수.

올바른 결정 의 조건부 확률 (현재 컨텍스트 에서 에 대해 조건 이 지정된 이벤트 ) 은 여기서 는 표준의 누적 확률 분포입니다. 정규 확률 변수이므로 무조건 확률은 여기서 $C = \{X_0 > \max_i X_i\}$ $X_0 = \alpha$

P (C ∣ X_{0} = α) = \prod_{i = 1}^{n} P {X_{i} < α ∣ X_{0} = α} = {[Φ (α)]}^{n}

$P(C \mid X_0 = \alpha) = \prod_{i=1}^n P\{X_i < \alpha \mid X_0 = \alpha\} = \left[\Phi(\alpha)\right]^n$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

P (C) = \int_{- \infty}^{\infty} P (C ∣ X_{0} = α) ϕ (α - μ) d α = \int_{- \infty}^{\infty} {[Φ (α)]}^{n} ϕ (α - μ) d α

$P(C) = \int_{-\infty}^{\infty}P(C \mid X_0 = \alpha) \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha = \int_{-\infty}^{\infty}\left[\Phi(\alpha)\right]^n \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$ 표준 정규 밀도 함수입니다. 이 적분의 값에 대해서는 닫힌 형태의 표현이 없으며 수치로 평가해야합니다. 결정에 오류가 있음 - - 엔지니어는 상보 이벤트 관련되지만 싫어하는 같이이 계산에 때문에 많은 유효 자릿수의 정확도까지 의 적분을 매우 신중하게 평가해야하며 , 이러한 평가는 어렵고 시간이 많이 걸립니다. 대신, 적분을 부품으로 통합하여

P {X_{0} < max_{i} X_{i}} = P (E) = 1 - P (C)

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = P(E) = 1-P(C)$

P (C)

$P(C)$

1 - P (C)

$1-P(C)$

P {X_{0} < max_{i} X_{i}} = \int_{- \infty}^{\infty} n {[Φ (α)]}^{n - 1} ϕ (α) Φ (α - μ) d α .

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = \int_{-\infty}^{\infty} n \left[\Phi(\alpha)\right]^{n-1}\phi(\alpha) \Phi(\alpha - \mu)\,\mathrm d\alpha.$ 이 적분은 수치 적으로 평가하기가 더 쉽고, 의 함수로서의 값은 Lindsey와 Simon, Prentice-Hall 1973, Dover 의 통신 시스템 공학의 5 장에서 그래프 화되고 도표화되어 있습니다 (안타깝게도 에만 해당 ). 1991 년을 누르십시오. 또는 엔지니어가 결합 경계 또는 Bonferroni 불평등 여기서 는 보완 누적 정규 분포 함수입니다.

μ

$\mu$

n \leq 20

$n \leq 20$

\begin{aligned} P {X_{0} < max_{i} X_{i}} & = P {(X_{0} < X_{1}) \cup (X_{0} < X_{2}) \cup \dots \cup (X_{0} < X_{n})} \\ \leq \sum_{i = 1}^{n} P {X_{0} < X_{i}} \\ = n Q (\frac{μ}{\sqrt{2}}) \end{aligned}

$\begin{align*} P\{X_0 < \max_i X_i\} &= P\left\{(X_0 < X_1)\cup (X_0 < X_2) \cup \cdots \cup (X_0 < X_n)\right\}\\ &\leq \sum_{i=1}^{n}P\{X_0 < X_i\}\\ &= nQ\left(\frac{\mu}{\sqrt{2}}\right) \end{align*}$

Q (x) = 1 - Φ (x)

$Q(x) = 1-\Phi(x)$

유니언 바운드에서 대해 원하는 값 이 로 바운드 되어 값을 입니다. 이것은 수치 적분에 의해 @whuber가 얻은 더 정확한 값 보다 약간 큽니다 . $0.01$ $P\{X_0 < \max_i X_i\}$ $60\cdot Q(\mu/\sqrt{2})$ $0.01$ $\mu = 5.09\ldots$ $\mu = 4.919\ldots$

ary orthogonal signaling 에 대한 더 자세한 논의와 세부 사항은 통신 시스템 수업을위한 강의 노트 161-179 페이지에서 찾을 수 있습니다 $M$

— 디립 사르 베이트
소스

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정식 답변 :

iid 변형 의 최대 값에 대한 확률 분포 (밀도) 는 다음과 같습니다. 여기서 는 확률 밀도이고 는 누적 분포 함수입니다. . $N$ $p_N(x)= N p(x) \Phi^{N-1}(x)$ $p$ $\Phi$

이로부터 를 통해 이 다른 보다 클 확률을 계산할 수 있습니다. $X_0$ $N-1$ $P(E) = (N-1) \int_{-\infty}^{\infty} \int_y^{\infty} p(x_0) p(y) \Phi^{N-2}(y) dx_0 dy$

특정 용도에 맞게 다루기 위해 다양한 근사치를 조사해야 할 수도 있습니다.

— 데이브
소스

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+1 실제로 사람 단일 일체로 이중 적분 단순화 주기 내 대답과 동일합니다.

\int_{y}^{\infty} p (x_{0}) d x_{0} = 1 - Φ (y - μ)

$\int_y^\infty p(x_0)\,\mathrm dx_0 = 1 - \Phi(y-\mu)$

P (E) = 1 - (N - 1) \int_{- \infty}^{\infty} Φ^{N - 2} (y) p (y) Φ (y - μ) d y

$P(E) = 1 - (N-1)\int_{-\infty}^\infty \Phi^{N-2}(y)p(y)\Phi(y-\mu)\,\mathrm dy$

— Dilip Sarwate