모멘트 생성 기능과 특성 기능 간의 연결

모멘트 생성 기능과 특성 기능 간의 연결을 이해하려고합니다. 모멘트 생성 함수는 다음과 같이 정의됩니다 :

M_{X} (t) = E (\exp (t X)) = 1 + \frac{t E (X)}{1} + \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{t^{n} E (X^{n})}{n!}

$M_X(t) = E(\exp(tX)) = 1 + \frac{t E(X)}{1} + \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \dots + \frac{t^n E(X^n)}{n!}$

의 연속 확장 사용 랜덤 변수 X에 대한 분포의 모든 순간을 찾을 수 있습니다. $\exp(tX) = \sum_0^{\infty} \frac{(t)^n \cdot X^n}{n!}$

특성 함수는 다음과 같이 정의됩니다 :

φ_{엑스} (티) = 이자형 (특급 (나는 티 엑스)) = 1 + \frac{나는 티 이자형 (엑스)}{1} - \frac{티^{2} 이자형 ({엑스}^{2})}{2!} + \dots + \frac{(나는 티)^{엔} 이자형 ({엑스}^{엔})}{엔!}

$\varphi_X(t) = E(\exp(itX)) = 1 + \frac{it E(X)}{1} - \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \ldots + \frac{(it)^n E(X^n)}{n!}$

$i$ $i^2 = -1$ $+$

— 주세페
소스

중요한 점은 모멘트 생성 기능이 항상 유한하지 않다는 것입니다! ( 예를 들어이 질문을 참조하십시오 .) 분포의 수렴에 관한 일반적인 이론을 만들고 싶다면 가능한 많은 객체를 사용하여 작동시킬 수 있기를 원합니다. 특징 함수는 물론 임의의 변수에 대해 유한합니다.

| \exp (i t X) | \leq 1

$|\exp(itX)| \leq 1$ .

— 추기경

Taylor 확장의 유사성은 여전히 존재하는 순간을 읽을 수 있지만 모든 분포에 순간이있는 것은 아니라는 점에 유의하십시오. :)

— 추기경

MGF는 랜덤 변수의 라플라스 변환이고 CF는 푸리에 변환입니다. 이러한 적분 변환 사이에는 근본적인 관계가 있습니다 ( 여기 참조) .

— tchakravarty

CF가 propability distribution의 역 푸리에 변환 (및 푸리에 변환이 아님)이라고 생각 했습니까?

— 주세페

구별은 지수에서 부호의 문제 일뿐 아니라 곱하기 상수 일 수도 있습니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

주석에서 언급했듯이, 특성 함수는 모듈러스 함수의 통합이 필요하기 때문에 항상 존재합니다. $1$ . However, the moment generating function doesn't need to exist because in particular it requires the existence of moments of any order.

우리가 알면 $E[e^{tX}]$ 모두에게 통합 가능 $t$ 우리는 정의 할 수 있습니다 $g(z):=E[e^{zX}]$ 각 복소수 $z$ . 그러면 우리는 $M_X(t)=g(t)$ 과 $\varphi_X(t)=g(it)$ .

— 다비데 기라 우도
소스