전체에 조건부, 음 이항 분포는 무엇입니까

경우 IID 음의 이항 있으며, 다음의 분포 것입니다 제공$x_1, x_2, \ldots, x_n$$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

$x_1 + x_2 + \ldots + x_n = N\quad$ ?

$N$ 은 고정되어 있습니다.

경우 푸 아송이 전체에, 다음 조건이며, 다항이다. 그것이 포아송 혼합이기 때문에 음 이항에 해당되는지 확실하지 않습니다.$x_1, x_2, \ldots, x_n$$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

알고 싶은 경우에는 숙제 문제가 아닙니다.

답이 늦어서 미안하지만, 이것도 저를 괴롭 히고 답을 찾았습니다. 분포는 실제로 Dirichlet-Multinomial이며 개별 부정입니다. 이항 분포는 Fano factor (평균에 대한 분산 비율)가 동일한 한 동일 할 필요도 없습니다.

긴 대답 :

NB를 다음과 같이 매개 변수화하는 경우 :

$p(X = x | \lambda, \theta) = NB(x | \lambda, \theta) = {{\theta^{-1} \lambda + x - 1} \choose {x}} \left ( \frac{1}{1 + \theta^{-1}} \right)^x \left ( \frac{\theta^{-1}}{1 + \theta^{-1}} \right)^{\theta^{-1} \lambda}$

그런 다음 및 및$E(X) = \lambda$$Var(X) = \lambda (1 + \theta)$

$\forall i: X_i \sim NB(\lambda_i, \theta)$ 의미

$\sum X_i \sim NB(\sum \lambda_i, \theta)$

그런 다음 합계가 주어진 확률을 취하십시오.

$\frac{\prod NB(x_i | \lambda_i, \theta)}{NB(\sum x_i | \sum \lambda_i, \theta)} = \frac{\left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} \prod {{\theta^{-1} \lambda_i + x_i - 1} \choose {x_i}}} { \left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} {{\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i - 1} \choose {\sum x_i}}} = \\ = \frac{\Gamma(\sum x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i) }{\Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i) } \prod \frac{ \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i + x_i)}{\Gamma(x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i)} \\ =DM(x_1, ..., x_n| \theta^{-1}\lambda_1, ... , \theta^{-1} \lambda_n)$

여기서 은 Dirichlet-Multinomial 가능성입니다. 이것은 다항식 계수를 제외하고 왼쪽에있는 분수의 많은 항이 상쇄되어 DM 우도에서와 동일한 감마 함수 항만 남게된다는 사실에서 비롯됩니다.$DM$

또한이 모델의 매개 변수는 모든 동시 감소와 정확히 동일한 가능성을 갖는 증가로 식별 할 수 없습니다 .$\theta$$\lambda_i$

이것에 대한 가장 좋은 참조는 Guimarães & Lindrooth (2007) 의 섹션 2에서 3.1입니다 : 그룹화 된 조건부 로짓 모델의과 분산 제어 : Dirichlet- multinomial regression의 계산적으로 간단한 적용 -불행히도 월급은 아니지만, 나는 할 수 없었습니다. 유료화되지 않은 참조를 찾으십시오.