상관 관계 또는 결정 계수가 회귀선을 따르는 값의 백분율과 관련이 있습니까?

상관 관계 은 두 변수 사이의 선형 연관성 척도입니다. 결정 계수 는 한 변수의 변수가 다른 변수의 "설명"에 의해 얼마나 설명 될 수 있는지를 측정 한 것입니다.r $r$$r^2$

예를 들어, 이 두 변수 사이의 상관 경우 입니다. 따라서 한 변수의 64 %가 다른 변수의 차이로 설명 될 수 있습니다. 권리?r 2 = $r = 0.8$$r^2 = 0.64$

내 질문은 예를 들어 다음 진술 중 하나가 맞습니까?

1. 값의 64 %가 회귀선을 따릅니다.
2. 80 %의 값이 회귀선을 따라 떨어짐

이것의 첫 번째 부분은 기본적으로 정확하지만 변형의 64 %는 모델에 의해 설명됩니다. 간단한 선형 회귀 분석 : Y ~ X, 가 .64 인 경우 Y 변동의 64 %가 Y와 X 사이의 선형 관계에 의해 결정됨을 의미합니다. 매우 낮은 과 강한 관계 를 가질 수 있습니다. 관계가 비선형 인 경우$R^2$$R^2$

번호가 매겨진 두 가지 질문에 대해서는 둘 다 맞지 않습니다. 실제로, 어떤 점도 회귀선에 정확하게 놓여 있지 않을 수 있습니다 . 그것은 측정되고있는 것이 아닙니다. 오히려 평균점이 선 에 얼마나 가까운 지에 대한 질문입니다 . 모든 점 또는 거의 모든 점이 가까이 있으면 (정확한 선이없는 경우에도) 가 높아집니다. 대부분의 점이 선에서 멀어지면 가 낮아집니다. 대부분의 점이 가까이 있지만 몇 점이 멀면 회귀가 잘못되었습니다 (이상치의 문제). 다른 일들도 잘못 될 수 있습니다.$R^2$$R^2$

또한, 나는 "먼"이라는 개념을 다소 모호하게 만들었습니다. 이것은 X가 얼마나 퍼져 있는지에 달려 있습니다. 이러한 개념을 정확하게 만드는 것은 회귀 과정에서 배우는 것의 일부입니다. 나는 여기에 들어 가지 않을 것이다.

당신은 당신의 진술의 첫 부분에 맞습니다. 결정 계수 를 해석하는 일반적인 방법은 설명 변수로 설명 할 수 있는 종속 변수 ( ) 의 변동 백분율입니다 . 결정 계수 의 정확한 해석 및 도출은 여기에서 찾을 수 있습니다.$R^{2}$$y$$Var(y)$$R^{2}$

http://economictheoryblog.com/2014/11/05/the-coefficient-of-determination-latex-r2/

그러나, 결정 계수 의 덜 알려진 해석은 이를 관측 된 값 과 사이의 제곱 피어슨 상관 계수로 해석하는 것 입니다. 측정 계수가 관측 값 와 사이의 제곱 Pearson 상관 계수와 동등하다는 증거는 여기에서 찾을 수 있습니다.$R^{2}$$y_{i}$$\hat{y}_{i}$$y_{i}$$\hat{y}_{i}$

http://economictheoryblog.com/2014/11/05/proof/

제 생각에는 이것이 결정 계수 를 해석하는 유일한 의미있는 방법입니다 . 작성한 두 명령문은 에서 파생 될 수 없습니다 .$R^{2}$$R^{2}$

니더 1과 2가 맞습니다.

선형 회귀를 사용하여 값 세트에서 값 세트를 예측하려고한다고 가정 합니다. 당신의 모델은$\pmb{y}$$\pmb{x}$

여기서 는 약간의 소음입니다. 는 의 분산의 64 %가 모형 에서 변동성으로 설명 될 수 있음을 의미합니다 . 잔차 분산 ( 즉 , 설명되지 않은 분산)은 0.36입니다. 즉,$\epsilon_i \sim \mathcal{N(0,\sigma^2)}$$R^2=.64$$y$$x$

그때