경계 랜덤 변수의 분산

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랜덤 변수의 하한과 상한이 [0,1]이라고 가정합니다. 그러한 변수의 분산을 계산하는 방법은 무엇입니까?

variance standard-deviation measurement-error

— 피오트르
소스

8

제한되지 않은 변수와 같은 방식으로 적분 또는 합산 한계를 적절하게 설정합니다.

— Scortchi-Monica Monica 복원

2

@Scortchi가 말했듯이. 그러나 왜 당신이 그것이 다를 수 있다고 생각했는지 궁금합니다.

— Peter Flom-Monica Monica 복원

3

변수에 대해 아무것도 모르는 경우 (이 경우 편차의 상한이 경계의 존재로부터 계산 될 수 있음) 변수가 경계에 있다는 사실이 계산에 나오는 이유는 무엇입니까?

— Glen_b-복원 모니카

6

유용한는 상부의 값을 취하는 확률 변수의 분산에 결합

[a, b]

$[a,b]$ 확률이

1

$1$ 인

(b - a)^{2} / 4

$(b-a)^2/4$ 및 값을 취 이산 확률 변수에 의해 달성된다 및

등호 확률

a

$a$

b

$b$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ . 명심해야 할 또 다른 요점은 분산이 존재 함을 보장하는 반면, 무한한 랜덤 변수는 분산을 갖지 않을 수 있다는 것입니다 (예 : Cauchy 랜덤 변수는 평균을 갖지 않음).

— Dilip Sarwate

7

거기 이고 그 차이에 해당 이산 확률 변수

\frac{(b - a)^{2}}{4}

$\frac{(b-a)^2}{4}$ 정확히

:확률이 같은값

a

$a$ 와

를 취하는 랜덤 변수

b

$b$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ . 따라서, 우리는 적어도 분산에 대한 보편적 인 상한이

보다 작을 수 없다는 것을 알고 있습니다

\frac{(b - a)^{2}}{4}

$\frac{(b-a)^2}{4}$ .

— Dilip Sarwate

46

Popoviciu의 불평등을 다음과 같이 증명할 수 있습니다. $m=\inf X$ 및 표기법을 사용하십시오 . 로 함수 를 정의하십시오 미분 계산 및 해결 우리가 발견 에서 최소 달성 ( )에 유의하십시오 . $M=\sup X$ $g$

g (t) = E [{(X - t)}^{2}] .

$g(t)=\mathbb{E}\left[\left(X-t\right)^2\right] \, .$

g^{'}

$g'$

g^{'} (t) = - 2 E [X] + 2 t = 0,

$g'(t) = -2\mathbb{E}[X] +2t=0 \, ,$

g

$g$

t = E [X]

$t=\mathbb{E}[X]$

g^{″} > 0

$g''>0$

이제 특수 지점 에서 함수 의 값을 고려하십시오 . 이어야합니다 그러나 이후 및 , 우리가 암시하는 $g$ $t=\frac{M+m}{2}$

V a r [X] = g (E [X]) \leq g (\frac{M + m}{2}) .

$\mathbb{Var}[X]=g(\mathbb{E}[X])\leq g\left(\frac{M+m}{2}\right) \, .$

g (\frac{M + m}{2}) = E [{(X - \frac{M + m}{2})}^{2}] = \frac{1}{4} E [{((X - m) + (X - M))}^{2}] .

$g\left(\frac{M+m}{2}\right) = \mathbb{E}\left[\left(X - \frac{M+m}{2}\right)^2 \right] = \frac{1}{4}\mathbb{E}\left[\left((X-m) + (X-M)\right)^2 \right] \, .$

X - m \geq 0

$X-m\geq 0$

X - M \leq 0

$X-M\leq 0$

{((X - m) + (X - M))}^{2} \leq {((X - m) - (X - M))}^{2} = {(M - m)}^{2},

$\left((X-m)+(X-M)\right)^2\leq\left((X-m)-(X-M)\right)^2=\left(M-m\right)^2 \, ,$

\frac{1}{4} E [{((X - m) + (X - M))}^{2}] \leq \frac{1}{4} E [{((X - m) - (X - M))}^{2}] = \frac{(M - m)^{2}}{4} .

$\frac{1}{4}\mathbb{E}\left[\left((X-m) + (X-M)\right)^2 \right] \leq \frac{1}{4}\mathbb{E}\left[\left((X-m) - (X-M)\right)^2 \right] = \frac{(M-m)^2}{4} \, .$

따라서 우리는 Popoviciu의 불평등 ,을 증명했습니다

V a r [X] \leq \frac{(M - m)^{2}}{4} .

$\mathbb{Var}[X]\leq \frac{(M-m)^2}{4} \, .$

— 선
소스

3

좋은 접근 방식 : 이런 종류의 것들에 대한 엄격한 데모를 보는 것이 좋습니다.

— whuber

22

+1 니스! 컴퓨터가 유행하기 오래 전에 통계를 배웠고 우리에게 뚫린 한 가지 아이디어는 편리한 점 에서 편차의 제곱의 합을 찾아서 바이어스를 조정하여 분산 계산을 허용합니다 . 물론,이 정체성은 가 파생물 등의 필요없이 에서 최소값을

E [(X - t)^{2}] = E [((X - μ) - (t - μ))^{2}] = E [(X - μ)^{2}] + (t - μ)^{2}

$E[(X-t)^2] = E[((X-\mu)-(t-\mu))^2] = E[(X-\mu)^2]+(t-\mu)^2$

t

$t$

g (t)

$g(t)$

t = μ

$t=\mu$

— 가졌다

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를 의 분포라고 하자 . 의 분산 이 최대 인 경우 는 내부를지지 할 수 없으며 , 는 베르누이이고 나머지는 사소한 것입니다. $F$ $[0,1]$ $F$ $F$ $F$

표기법 말하자면,하자 수 원료의 모멘트 일 (그리고, 평소와 같이, 우리는 물품 및 대 차이). $\mu_k = \int_0^1 x^k dF(x)$ $k$ $F$ $\mu = \mu_1$ $\sigma^2 = \mu_2 - \mu^2$

우리는 가 한 시점에서 모든 지원을 제공하지 않는다는 것을 알고 있습니다 (이 경우 편차는 최소 입니다). 무엇보다도 이것은 가 과 사이에 있다는 것을 의미 합니다. 모순으로 논쟁하기 위해 내부 에 측정 가능한 하위 집합 이 있다고 가정 합니다. 일반성을 잃지 않으면 서 우리는 ( 필요한 경우 를 로 변경 하여 ) $F$ $\mu$ $0$ $1$ $I$ $(0,1)$ $F(I)\gt 0$ $X$ $1-X$ : 즉, 는평균 이상의 부분을 차단하여 얻어지며 는 양의 확률을 갖습니다. $F(J = I \cap (0, \mu]) \gt 0$ $J$ $I$ $J$

에서 모든 확률을 취하여 놓아서 를 로 바꾸자 . $F$ $F'$ $J$ $0$ 그렇게하면 가 $\mu_k$

μ_{k}^{'} = μ_{k} - \int_{J} x^{k} d F (x) .

$\mu'_k = \mu_k - \int_J x^k dF(x).$

표기법의 문제로, 그러한 적분에 대해 를 쓰겠습니다. $[g(x)] = \int_J g(x) dF(x)$

μ_{2}^{'} = μ_{2} - [x^{2}], μ^{'} = μ - [x] .

$\mu'_2 = \mu_2 - [x^2], \quad \mu' = \mu - [x].$

계산하다

σ^{' 2} = μ_{2}^{'} - μ^{' 2} = μ_{2} - [x^{2}] - (μ - [x])^{2} = σ^{2} + ((μ [x] - [x^{2}]) + (μ [x] - [x]^{2})) .

$\sigma'^2 = \mu'_2 - \mu'^2 = \mu_2 - [x^2] - (\mu - [x])^2 = \sigma^2 + \left((\mu[x] - [x^2]) + (\mu[x] - [x]^2)\right).$

오른쪽의 두 번째 항 은 모든 곳에서 이므로 음수가 아닙니다 . 오른쪽의 첫 번째 용어를 다시 쓸 수 있습니다 $(\mu[x] - [x]^2)$ $\mu \ge x$ $J$

μ [x] - [x^{2}] = μ (1 - [1]) + ([μ] [x] - [x^{2}]) .

$\mu[x] - [x^2] = \mu(1 - [1]) + ([\mu][x] - [x^2]).$

오른쪽 첫 번째 항은 엄격하게 (a) 때문에 양의 및 (b) 우리가 가정하기 때문에 점에 집중하지 않는다. 이 같이 재기록 될 수 있기 때문에 두 번째 항은 음수이다 ,이 적분은 가정에서 음수 인 에 및 $\mu \gt 0$ $[1] = F(J) \lt 1$ $F$ $[(\mu-x)(x)]$ $\mu \ge x$ $J$ $0 \le x \le 1$ . 다음은 입니다. $\sigma'^2 - \sigma^2 \gt 0$

우리는 가정하에 를 변경 하면 그 편차가 엄격하게 증가한다는 것을 알았습니다. 그러므로 이것이 일어날 수없는 유일한 방법은 의 모든 확률이 종말점 과 집중 될 때 (예 : 값 와 )입니다. 그 차이를 용이하게 동일하게 산출 할 때 최대이다 과 같 이. $F$ $F'$ $F'$ $0$ $1$ $1-p$ $p$ $p(1-p)$ $p=1/2$ $1/4$

이제 가 의 분포 일 때 최근에이를 의 분포로 재조정합니다 . 최근 조정은 분산을 변경하지 않지만 크기 조정은이를 나눕니다 . , 따라서 의 최대 편차를 가진 의 최대 편차를 가진 분포에 대응하는 :이 때문에 베르누이 인 $F$ $[a,b]$ $[0,1]$ $(b-a)^2$ $F$ $[a,b]$ $[0,1]$ $(1/2)$ 재배 율화 분포로 변환하고 를 갖는 분산 , QED . $[a,b]$ $(b-a)^2/4$

— 우버
소스

흥미 롭군 나는이 증거를 몰랐다.

— Zen

6

@ 젠 그것은 당신만큼 우아하지 않습니다. 나는 훨씬 더 복잡한 분포 불평등에 직면했을 때 이런 식으로 생각하면서 수년 동안 나 자신을 발견했기 때문에 그것을 제안했다. 나는 불평등을 더 극단적으로 만들기 위해 확률이 어떻게 변할 수 있는지 묻는다. 직관적 인 휴리스틱으로 유용합니다. 여기에 제시된 것과 같은 접근법을 사용함으로써, 나는 다양한 종류의 불평등을 증명하기위한 일반적인 이론이 변형의 미적분학과 (유한 차원) 라그랑주 승수 기법의 하이브리드 풍미와 함께 도출 될 수 있다고 생각합니다.

— whuber

완벽 : 답변은 다른 많은 경우를 처리하는 데 사용할 수있는보다 일반적인 기술을 설명하므로 중요합니다.

— Zen

@whuber는 말했다- "불평등을보다 극단적으로 만들기 위해 확률이 어떻게 변할 수 있는지 묻습니다." -이런 문제에 대해 생각하는 자연스러운 방법 인 것 같습니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

파생에는 몇 가지 실수가있는 것 같습니다. 이 있어야

또한

는

같지 않습니다

μ [x] - [x^{2}] = μ (1 - [1]) [x] + ([μ] [x] - [x^{2}]) .

$\mu[x] - [x^2] = \mu(1 - [1])[x] + ([\mu][x] - [x^2]).$

[(μ - x) (x)]

$[(\mu-x)(x)]$

이후

동일하지 않다

[μ] [x] - [x^{2}]

$[\mu][x] - [x^2]$

[μ] [x]

$[\mu][x]$

μ [x]

$\mu[x]$

— 레오

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랜덤 변수가 로 제한되고 평균 알고있는 경우 분산은 의해 제한됩니다 . $[a,b]$ $\mu=E[X]$ $(b-\mu)(\mu-a)$

먼저 고려해 봅시다 . 모든 , 이므로 입니다. 이 결과를 사용하여 $a=0, b=1$ $x\in [0,1]$ $x^2\leq x$ $E[X^2]\leq E[X]$

σ^{2} = E [X^{2}] - (E [X]^{2}) = E [X^{2}] - μ^{2} \leq μ - μ^{2} = μ (1 - μ) .

$\begin{equation} \sigma^2 = E[X^2] - (E[X]^2) = E[X^2] - \mu^2 \leq \mu - \mu^2 = \mu(1-\mu). \end{equation}$

간격으로 일반화 와 고려 제한 . 정의 $[a,b]$ $b>a$ $Y$ $[a,b]$ .제한됩니다. 마찬가지로,이므로 $X=\frac{Y-a}{b-a}$ $[0,1]$ $Y = (b-a)X + a$

V a r [Y] = (b - a)^{2} V a r [X] \leq (b - a)^{2} μ_{X} (1 - μ_{X}) .

$\begin{equation} Var[Y] = (b-a)^2Var[X] \leq (b-a)^2\mu_X (1-\mu_X). \end{equation}$ 불평등은 첫 번째 결과에 기초한다. 이제

를 대입

, 경계는

와 같습니다.

μ_{X} = \frac{μ_{Y} - a}{b - a}

$\mu_X = \frac{\mu_Y - a}{b-a}$

원하는 결과입니다.

(b - a)^{2} \frac{μ_{Y} - a}{b - a} (1 - \frac{μ_{Y} - a}{b - a}) = (b - a)^{2} \frac{μ_{Y} - a}{b - a} \frac{b - μ_{Y}}{b - a} = (μ_{Y} - a) (b - μ_{Y}),

$\begin{equation} (b-a)^2\, \frac{\mu_Y - a}{b-a}\,\left(1- \frac{\mu_Y - a}{b-a}\right) = (b-a)^2 \frac{\mu_Y -a}{b-a}\,\frac{b - \mu_Y}{b-a} = (\mu_Y - a)(b- \mu_Y), \end{equation}$

— 유호 코 칼라
소스

8

@ user603의 요청에서 ...

$\sigma^2$ $[a,b]$ $1$ $\sigma^2 \leq \frac{(b−a)^2}{4}$ $a=0, b=1$ $a$ $b$ $\frac{1}{2}$ $\frac{(b−a)^2}{4}$

명심해야 할 또 다른 요점은 경계 랜덤 변수에 유한 분산이있는 반면, 무한 랜덤 변수의 경우 분산이 유한하지 않을 수 있으며 경우에 따라 정의 할 수도 없을 수도 있다는 것입니다. 예를 들어, Cauchy random variables에 대해 평균을 정의 할 수 없으므로 분산을 정의 할 수 없습니다 (평균과의 제곱 편차가 예상 됨).

— 디립 사르 베이트
소스

이것은

— @Juho

의견 일 뿐이지 만이 답변이 질문에 대한 답변을 제공하지 않는다고 덧붙일 수도 있습니다.

— Aksakal

@Aksakal 그래서 ??? Juho는 약간 다르고 훨씬 최근에 묻는 질문에 대답했습니다. 이 새로운 질문은 위에서 본 질문과 합쳐져 10 개월 전에 답변했습니다.

— Dilip Sarwate

0

$[a,b]$

V a r (X) = E [(X - E [X])^{2}] \leq E [(b - a)^{2}] = (b - a)^{2} .

$Var(X) = E[(X-E[X])^2] \le E[(b-a)^2] = (b-a)^2.$

1 / 4

$1/4$

이 기사 는 Wikipedia 기사보다 더 좋아 보입니다 ...

V a r (X) = \frac{(b - a)^{2}}{12} .

$Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}.$

— 릭
소스

이 페이지는 "선형 프로그래밍의 기본 정리"에 대한 이해가 필요한 것 같아서 약간의 증명이 시작되어 결과가 나와 있습니다. sci.tech-archive.net/Archive/sci.math/2008-06/msg01239.html

— Adam Russell

이것에 이름을 넣어 주셔서 감사합니다! "Popoviciu의 불평등"은 내가 필요한 것입니다.

— Adam Russell

2

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2

연속 분포는 개별적으로 (cdf 용어로) 개별적으로 접근 할 수 있습니다 (예 : 적절한 영역의 각 질량 지점에 중심에 작은 Beta (4,4) 모양의 커널을 배치하여 주어진 개별 디스크로부터 연속 밀도를 구성합니다- 각 커널의 표준 편차는 면적을 일정하게 유지하면서 0으로 줄어 듭니다. 여기서 논의 된 이러한 불연속 경계는 또한 연속 분포에 대한 경계로서 작용할 것이다. 나는 당신이 지속적인 단봉 분포 에 대해 생각하고 있습니다 ... 실제로 상한이 다릅니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

2

글쎄 ... 내 대답은 가장 도움이되지 않았지만 좋은 의견 때문에 여기에 남겨 둘 것입니다. 건배, R

— Ric