이것이 베이 즈 정리를 사용하여 확률을 지속적으로 업데이트하는 올바른 방법입니까?

누군가가 좋아하는 아이스크림 맛이 바닐라 일 확률을 찾으려고 노력한다고 가정 해 봅시다.

나는 그 사람도 공포 영화를 즐긴다는 것을 안다.

공포 영화를 즐기는 사람이 가장 좋아하는 아이스크림이 바닐라 일 가능성을 알고 싶습니다.

다음 사항을 알고 있습니다.

1. $5\%$사람들은 바닐라를 좋아하는 아이스크림 맛으로 선택합니다. ( 이것은 나의$P(A)$ )
2. $10\%$바닐라 아이스크림을 좋아하는 사람들은 공포 영화를 좋아합니다. ( 이것은 나의$P(B|A)$ )
3. $1\%$ 바닐라 아이스크림을 좋아하지 않는 사람들의 공포 영화도 좋아합니다. $P(B|\lnot A)$ )

따라서 다음과 같이 계산합니다.

$$P(A|B)=\frac{0.05\times0.1}{(0.05 \times 0.1)+(0.01 \times(1-0.05))}$$ 나는 그것을 발견 $P(A|B) = 0.3448$(가장 가까운 십만에 반올림). 이있다$34.48\%$ 공포 영화 팬이 가장 좋아하는 아이스크림 맛은 바닐라입니다.

그러나 나는 지난 30 일 동안 그 사람이 공포 영화를 본 것을 알게되었습니다. 내가 아는 것은 다음과 같습니다.

1. $34.48\%$ 바닐라가 사람이 가장 좋아하는 아이스크림 맛일 가능성이 높은 사후 확률입니다. $P(A)$ 이 다음 문제에서.
2. $20\%$ 바닐라 아이스크림을 좋아하는 사람들 중 지난 30 일 동안 공포 영화를 본 적이 있습니다.
3. $5\%$ 바닐라 아이스크림이 아닌 사람들이 지난 30 일 동안 공포 영화를 보았습니다.

이것은 다음을 제공합니다.

$$\frac{0.3448\times0.2}{(0.3448\times0.2)+(0.05\times(1-0.3448))} = 0.6779$$ 반올림 될 때.

이제는 $67.79\%$ 지난 30 일 동안 공포 영화를 본 적이있어 공포 영화 팬이 아이스크림을 좋아할 가능성이 있습니다.

그러나 또 다른 것이 있습니다. 나는 또한 그 사람이 고양이를 소유하고 있다는 것을 배웠다.

내가 아는 것은 다음과 같습니다.

1. $67.79\%$ 바닐라가 사람이 가장 좋아하는 아이스크림 맛일 가능성이 높은 사후 확률입니다. $P(A)$ 이 다음 문제에서
2. $40\%$ 바닐라 아이스크림을 좋아하는 사람들의 고양이도
3. $10\%$ 바닐라 아이스크림이 아닌 사람들이 고양이를 좋아합니다.

이것은 다음을 제공합니다.

$$\frac{0.6779\times0.4}{(0.6779\times 0.4)+(0.1\times(1-0.6779))} = 0.8938$$ 반올림 될 때.

내 질문은 기본적으로 다음과 같이 요약됩니다. Bayes의 정리를 사용하여 확률을 올바르게 업데이트하고 있습니까? 내 방법에 다른 문제가 있습니까?

이것은 정확 하지 않습니다 . 이 유형의 순차적 업데이트는 순차적으로받는 정보가 독립적 일 때만 작동합니다 (예 : 임의 변수의 iid 관찰). 이 경우와 같이 각 관측치가 독립적이지 않은 경우 결합 확률 분포를 고려해야합니다. 올바른 업데이트 방법은 이전으로 돌아가서 누군가가 공포 영화를 좋아하고 지난 30 일 동안 공포 영화를 보았으며 바닐라를 좋아하는 아이스크림 맛을 한 번에 업데이트 할 수 있습니다.

데이터가 독립적이지 않을 때 이와 같이 순차적으로 업데이트하면 사후 확률이 예상보다 훨씬 높거나 낮아집니다.