대칭 분포의 중심 모멘트

대칭 분포의 중심 모멘트 : 가 홀수 인 경우 0 임을 보여 주려고 합니다. 예를 들어 세 번째 중심 모멘트나는 을 보여 주려고 시작했습니다여기에서 어디로 가야할지 모르겠습니다. 제안이 있습니까? 이것을 증명하는 더 좋은 방법이 있습니까?

f_{x} (a + x) = f_{x} (a - x)

${\bf f}_x{\bf (a+x)} = {\bf f}_x{\bf(a-x)}$

E [(X - u)^{3}] = 0 .

${\bf E[(X-u)^3] = 0}.$

E [(X - u)^{3}] = E [X^{3}] - 3 u E [X^{2}] + 3 u^{2} E [X] - u^{3} .

${\bf E[(X-u)^3] = E[X^3] -3uE[X^2] + 3u^2E[X] - u^3}.$

mathematical-statistics expected-value moments

— 사용자 18262
소스

힌트 : 간단히하기 위해 가 에 대해 대칭 이라고 가정합니다 . 그런 다음 적분을 과 로 나누고 대칭 가정을 사용하여 임을 나타낼 수 있습니다 . 그런 다음 대해 을 표시하면 됩니다. 이것은 적분을 나누고 비슷한 주장을 사용하여 다시 수행 할 수 있습니다.

f

$f$

0

$0$

E [X] = u = 0

$E[X]=u=0$

(- \infty, 0)

$(-\infty,0)$

[0, \infty)

$[0,\infty)$

E [X^{k}] = 0

$E[X^k]=0$

k = 3, 5, 7, 9, . . .

$k=3,5,7,9,...$

그러나 힌트 는 @Procrastinator의 제안 (+1)에주의하십시오! 그렇지 않으면 거짓을 "증명"할 수 있습니다! 분할 적분의 각 부분이 유한함을 표시해야합니다. (둘 중 하나라면 다른 쪽도 마찬가지입니다.)

— 추기경

와 의 차이점은 무엇입니까 ?

a

$a$

u

$u$

— Henry

@DilipSarwate 왜 포괄적 인 답변이되지 않는 의견에 대한 간단한 설명을 찾는 대신에 모든 생각을 답변에 담아 보지 않겠습니까?

@ 매크로 : 부끄러운 일입니다. Procrastinator는 이제 우리가 지난 몇 달 동안 (또는 그들의 활동을 심각하게 줄인) 명백히 잃어버린 몇 가지 매우 중요한 기여자 목록에 합류했습니다. 긍정적 인 측면에서 최근 참여한 업적을 보게되어 매우 기쁩니다! 나는 그것이 계속되기를 바랍니다.

— 추기경

이 답변은 가능한 한 초등적인 데모를 만드는 것을 목표로합니다. 왜냐하면 그러한 아이디어는 종종 필수 아이디어에 도달하기 때문입니다. 만 (대수 조작의 간단한 종류 이상)이 필요 사실은 통합의 선형성 (또는, 동등하게, 기대), 적분에 대한 변수 공식의 변화와 통일에 PDF를 통합하고 그 자명 한 결과입니다.

때 직관이 시연되고 동기 부여 대략 대칭 후 어떤 양의 기여 기대에가 금액과 동일한 중량을 가질 것이다 와 가 반대편 있고 똑같이 떨어져 있기 때문에 . 다만, 다음 것을 모든 , 모든 취소하고 기대 제로이어야한다. 따라서 와 의 관계 는 출발점입니다. $f_X$ $a$ $G(x)$ $\mathbb{E}_X(G(X))$ $G(2a-x)$ $x$ $2a-x$ $a$ $G(x) = -G(2a-x)$ $x$ $x$ $2a-x$

를 쓰면 대칭은 관계에 의해서도 표현 될 수 있습니다. $y = x + a$

f_{X} (y) = f_{X} (2 a - y)

$f_X(y) = f_X(2a-y)$

모든 . 측정 가능한 함수 , 에서 로 변수의 일대일 변경은 를 변경 하면서 적분 방향을 반대로하면서 $y$ $G$ $x$ $2a-x$ $dx$ $-dx$

E_{X} (G (X)) = \int G (x) f_{X} (x) d x = \int G (x) f_{X} (2 a - x) d x = \int G (2 a - x) f_{X} (x) d x .

$\mathbb{E}_X(G(X)) = \int G(x) f_X(x)dx = \int G(x) f_X(2a - x)dx = \int G(2a-x)f_X(x)dx.$

이러한 기대가 존재한다고 가정하면 (즉, 적분 수렴) 적분의 선형성은 암시합니다.

\int (G (x) - G (2 a - x)) f_{X} (x) d x = 0.

$\int \left(G(x) - G(2a - x)\right)f_X(x)dx = 0.$

, 의 기대 값으로 정의되는 에 대한 홀수 모멘트를 고려하십시오 . 이 경우 $a$ $G_{k,a}(X) = (X-a)^k$ $k = 1, 3, 5, \ldots$

\begin{aligned} G_{k, a} (x) - G_{k, a} (2 a - x) & = (x - a)^{k} - (2 a - x - a)^{k} \\ = (x - a)^{k} - (a - x)^{k} \\ = (1^{k} - (- 1)^{k}) (x - a)^{k} \\ = 2 (x - a)^{k}, \end{aligned}

$\eqalign{ G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a-x) &= (x-a)^k - (2a-x-a)^k \\&= (x-a)^k - (a-x)^k \\ &= (1^k - (-1)^k)(x-a)^k \\&= 2(x-a)^k,}$

가 홀수 이기 때문에 정확하게 . 앞의 결과를 적용하면 $k$

0 = \int (G_{k, a} (x) - G_{k, a} (2 a - x)) f_{X} (x) d x = 2 \int (x - a)^{k} f_{X} (x) d x .

$0 = \int \left(G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a - x)\right)f_X(x)dx = 2\int (x-a)^k f_X(x)dx.$

오른쪽의 두 배이기 때문에 에 대한 순간 번째 로 나누어, 가 존재할 때마다,이 모멘트가 0이 쇼. $k$ $a$ $2$

마지막으로, 평균 (존재한다고 가정)은

μ_{X} = E_{X} (X) = \int x f_{X} (x) d x = \int (2 a - x) f_{X} (x) d x .

$\mu_X = \mathbb{E}_X(X) = \int x f_X(x)dx = \int (2a-x)f_X(x)dx.$

다시 선형성을 이용하고 가 확률 분포 이기 때문에 이라는 것을 상기하면, 마지막 평등을 다시 정렬하여 읽을 수 있습니다 $\int f_X(x)dx=1$ $f_X$

2 μ_{X} = 2 \int x f_{X} (x) d x = 2 a \int f_{X} (x) d x = 2 a \times 1 = 2 a

$2\mu_X = 2\int x f_X(x)dx = 2a\int f_X(x)dx = 2a\times 1 = 2a$

독특한 솔루션으로 . 따라서 모든 약 순간 이전의 계산 정말 QED 중앙 순간이다. $\mu_X = a$ $a$

우편

여러 장소에서 로 나눌 필요 는 측정 가능한 기능 (즉, 주위의 선으로 반사에 의해 생성 된 그룹)에 작용하는 차 그룹 이 있다는 사실과 관련이 있습니다. 보다 일반적으로 대칭 개념 은 모든 그룹의 행동으로 일반화 될 수 있습니다. 그룹 표현 이론은 캐릭터가 $2$ $2$ $a$ 함수에 대한 해당 조치의 사소한 것이 아니라 사소한 특성과 직교하므로 함수의 기대치가 0이어야합니다. 직교 관계는 그룹의 크기가 분모에 지속적으로 나타나는 반면, 그룹의 크기가 유한 할 때의 카디널리티 또는 컴팩트 할 때의 볼륨과 같이 그룹을 추가하거나 통합하는 것을 포함합니다.

이러한 일반화의 아름다움은 벤젠 분자 (12 원소 대칭 그룹을 갖는)에 의해 예시 된 대칭 시스템의 기계식 (또는 양자 역학) 운동 방정식과 같은 명백한 대칭을 갖는 응용 에서 명백해진다 . (QM 응용 프로그램은 예상을 명시 적으로 계산하기 때문에 여기에서 가장 관련이 있습니다.) 일반적으로 텐서의 다차원 적분을 포함하는 물리적 관심의 값은 단순히 관련된 문자를 알면 여기에 포함 된 것보다 더 많은 작업없이 계산할 수 있습니다. 정수. 예를 들어, 다양한 대칭 분자, 즉 다양한 파장에서 스펙트럼의 "색상" 은이 방법으로 초기에 결정될 수 있습니다 .

— 우버
소스

(+1) " 에 대한 홀수 모멘트 고려"섹션 에서 세 번째 줄은 읽어야한다고 생각합니다 .

a

$a$

= (1^{k} - (- 1)^{k}) (x - a)^{k}

$=(1^k-(-1)^k)(x-a)^k$

— 가정 정상

@Max Yep : 읽어 주셔서 감사합니다! (이제 수정되었습니다.)

— whuber