변환 된 랜덤 변수의 공분산

두 개의 임의 변수 및 있습니다. $X > 0$ $Y > 0$

내가 추정 할 수 있음을 감안할 때 내가 추정 할 수있는 방법

Cov (X, Y),

$\text{Cov}(X, Y),$

Cov (\log (X), \log (Y)) ?

$\text{Cov}(\log(X), \log(Y))?$

data-transformation covariance random-variable

— 사용자
소스

이 과거의 질문은 공분산 대신 상관 관계에 대해 물었지만, stats.stackexchange.com/questions/35941/…

— Douglas Zare

Taylor 확장의 접근 방식을 취할 수 있습니다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables

편집하다:

, 가져옵니다 . $U=\log(X)$ $V=\log(Y)$

다변량 Taylor 확장을 사용하여 대한 근사값을 계산합니다 ( 을 사용하고 일 변량 확장을 사용 하여 유사한 정확도 로 및 에 대한 근사값을 계산 합니다. 그로부터 (대략) 공분산을 계산하십시오. $\rm{E}(UV)$ $\rm{E}(X.1/Y))$ $\rm{E}(U)$ $\rm{E}(V)$

링크의 예와 비슷한 정도의 근사치로 확장하면 각 (변형되지 않은) 변수의 평균과 분산 및 공분산의 용어로 끝납니다.

편집 2 :

그러나 약간의 노력을 절약 할 수있는 약간의 트릭이 있습니다.

참고 및 및 . $\rm{E}(XY) = \rm{Cov}(X,Y) + \rm{E}(X)\rm{E}(Y)$ $X=\exp(U)$ $Y=\exp(V)$

감안 우리가

E [f (X)] \approx f (μ_{X}) + \frac{f^{″} (μ_{X})}{2} σ_{X}^{2}

$\operatorname{E}\left[f(X)\right]\approx f(\mu_X) +\frac{f''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

E (\exp (U)) \approx \exp (μ_{U}) + \frac{\exp (μ_{U})}{2} σ_{U}^{2} \approx \exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2})

$\operatorname{E}(\exp(U)) \approx \exp(\mu_U) + \frac{\exp(\mu_U)}{2}\sigma_U^2 \approx \exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

편집 : 마지막 단계는 Taylor 근사치 이며 작은 좋습니다 ( ). $\exp(b) \approx 1 + b$ $b$ $b =\frac{1}{2}\sigma_U^2$

(근사값은 , normal에 대해 정확합니다 : ) $U$ $V$ $\operatorname{E}(\exp(U))=\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

하자 $W = U + V$

E (X Y) = E (\exp (U) . \exp (V)) = E (\exp (W))

$\operatorname{E}(XY) = \operatorname{E}(\exp(U).\exp(V)) = \operatorname{E}(\exp(W))$

\approx \exp (μ_{W}) + \frac{e x p (μ_{W})}{2} σ_{W}^{2} \approx \exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})

$\approx \exp(\mu_{W}) + \frac{exp(\mu_{W})}{2}\sigma_W^2 \approx \exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)$

주어진 , 그때 $\operatorname{Var}(W) = \operatorname{Var}(U) + \operatorname{Var}(V) + 2 \operatorname{Cov}(U,V)$

(편집하다:)

1 + \frac{Cov (X, Y)}{E (X) E (Y)} = \frac{E (X Y)}{E (X) E (Y)}

$1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)} = \frac{\operatorname{E}(XY)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)}$

\approx \frac{\exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \frac{\exp (μ_{U} + μ_{V} + \frac{1}{2} (σ_{U}^{2} + σ_{V}^{2} + 2 Cov (U, V)))}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_U+\mu_V+\frac{1}{2}(\sigma_U^2+\sigma_V^2+2 \operatorname{Cov}(U,V)))}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \exp [Cov (U, V)]

$\approx \exp[\operatorname{Cov}(U,V)]$

따라서 . 이것은 이변 량 가우스에 대해 정확해야합니다 . $\operatorname{Cov}(U,V)\approx \log(1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)})$ $U,V$

두 번째가 아닌 첫 번째 근사값을 사용한 경우 여기에서 다른 근사값을 얻게됩니다.

— Glen_b-복귀 모니카
소스

좀 더 자세한 내용을 알려 주시겠습니까? 어쨌든, 제안을위한 thx

— user7064

자세한 내용을 편집했습니다.

— Glen_b-복지 모니카

감사합니다 @Glend_b. 세부 사항이 추가 될 때 동의합니다. 한편, +1 :-)

— user7064

걱정 마; 나는 그 당시 바빴다. 그리고 완전히 잊었다. 수정 됨

— Glen_b-복지국 Monica

일반적으로 와 의 분산 이 작은 경우 (가령, 와 의 변동 계수가 작은 경우) 비 가우시안 변수에 더 적합 합니다.

U

$U$

V

$V$

X

$X$

Y

$Y$

— Glen_b-복지국 Monica

및 에 대한 추가 가정이 없으면 초기 공분산을 알고있는 로그의 공분산을 추론 할 수 없습니다. 반면에 와 에서 를 계산할 수 있다면 를 계산할 수없는 와 직접? $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(X,Y)$ $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(\log(X), \log(Y))$ $\log(X)$ $\log(Y)$

— 폰
소스