통계량 분포 찾기

시험 공부. 이 질문에 대답하지 못했습니다.

하자 IID 될 랜덤 변수. 밝히다 $X_{1,i},X_{2,i},X_{3,i}, i=1,\ldots,n$ $\mathcal{N}(0,1)$

$W_i = (X_{1,i} + X_{2,i}X_{3,i})/\sqrt{1 + X_{3,i}^2}, i = 1, \ldots, n$ ,

및 , $\overline{W}_n = n^{-1}\sum_{i=1}^nW_i$

$S_n^2 = (n-1)^{-1}\sum_{i=1}^n(W_i - \overline{W}_n)^2, n \ge 2.$

, 의 분포는 무엇입니까 ? $\overline{W}_n$ $S_n^2$

이와 같은 문제를 시작할 때 사용하는 가장 좋은 방법에 대한 아이디어를 얻으려면 어떻게해야합니까?

normal-distribution data-transformation

— 테일러
소스

고정 또는 점근 분포에 대한 분포를 원하십니까 ? 및 의 한계 분포 또는 공동 분포에 관심이 있습니까?

n

$n$

{\bar{W}}_{n}

$\overline W_n$

S_{n}^{2}

$S_n^2$

— 추기경

애매하게해서 죄송합니다. 고정 상태로 유지 하면 한계에 관심이 있습니다. 그들은 두 통계가 독립적인지에 대해 나중에 묻습니다. 그래서 나는 Basu 정리를 사용할 것을 기대하고 있습니다.

n

$n$

— Taylor

속임수입니다.

조건부에 우리가 가지고 동일 이것은 고정 에 대해 두 개의 독립적 인 분포 변수 및 의 간단한 선형 변환 이라는 사실에서 비롯 됩니다. 어디서, 정규 분포를 갖는다. 조건부 평균은 0이고 조건부 분산은 (독립 가정에 의해) $X_{3,i} = x$ $W_i$

\frac{X_{1, i} + X_{2, i} x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \sim N (0, 1) .

$\frac{X_{1,i} + X_{2,i}x}{\sqrt{1 + x^2}} \sim \mathcal{N}(0, 1).$

x

$x$

N (0, 1)

$\mathcal{N}(0,1)$

X_{1, i}

$X_{1,i}$

X_{2, i}

$X_{2,i}$

W_{i} ∣ X_{3, i} = x

$W_i \mid X_{3,i} = x$

V (W_{i} ∣ X_{3, i} = x) = \frac{V (X_{1, i}) + V (X_{2, i}) x^{2}}{1 + x^{2}} = \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} = 1.

$V(W_i \mid X_{3,i} = x) = \frac{V(X_{1,i}) + V(X_{2,i})x^2}{1 + x^2} = \frac{1 + x^2}{1 + x^2} = 1.$

조건부 분포 때문에 에 의존하지 않는 우리는이뿐만 아니라 그것의 여백 분포이라고 결론 $W_i \mid X_{3,i} = x$ $x$ $W_i \sim \mathcal{N}(0,1).$

나머지는 독립 정규 랜덤 변수에 대한 평균 및 잔차에 대한 표준 결과를 따릅니다. 바수 정리는 아무것도 필요하지 않습니다.

— NRH
소스

매우 인상적!

— Cam.Davidson.Pilon

잘 발견되었습니다 (+1). 그러나 의 공동 분포 에서 Basu의 정리는 가장 관련이 있습니다.

({\bar{W}}_{n}, S_{n}^{2})

$(\overline{W}_n,S_n^2)$

— mbe