아메바 인터뷰 질문

나는 독점 거래 회사와의 거래 위치에 대한 인터뷰에서이 질문을 받았습니다. 이 질문에 대한 답과 그 직관을 알고 싶습니다.

아메바 질문 : 아메바 집단은 1로 시작합니다. 1 기간 후, 아메바는 동일한 확률로 1, 2, 3 또는 0으로 나눌 수 있습니다 (죽을 수 있음). 전체 인구가 결국 사망 할 확률은 얼마입니까?

귀여운 문제입니다. 이것은 유아들이 재미를 위해 머리에서하는 일입니다.

이 기술은 그러한 멸종 확률이 있다고 가정하고 라고 부릅니다 . 그런 다음 총 확률 법칙을 사용하여 우리가 볼 수있는 가능한 결과에 대한 한 가지 심층적 인 의사 결정 트리를 살펴보면$P$

$P=\frac{1}{4} + \frac{1}{4}P + \frac{1}{4}P^2 + \frac{1}{4}P^3$

2 개 또는 3 개의 "자손"의 경우 그들의 멸종 확률은 IID라고 가정합니다. 이 방정식에는 과 √의 두 가지 근이 있습니다.$1$. 나보다 똑똑한 사람이 왜1이 그럴듯하지않은지 설명 할 수있을 것입니다.$\sqrt{2}-1$$1$

직업은 빡빡해야합니다. 어떤 면접관이 당신의 머리에 입방 방정식을 풀기를 기대합니까?

봉투 계산의 일부 뒷면 (문자 그대로-책상에 봉투가 놓여 있음)은 인구 3에 도달하지 못할 확률이 42/111 (38 %)입니다.

나는 빠른 파이썬 시뮬레이션을 실행하여, 20 대가 얼마나 많은 인구가 죽었는지 (보통 사망했거나 수천 명에 이르렀 음) 10000 런 중 4164 명이 사망했다.

답은 42 %입니다.

이것은 원래 성의 생존을 연구하기 위해 고안된 Galton Watson 프로세스 와 관련이 있습니다 . 확률은 단일 분할 후 예상되는 서브 아모 에바 수에 따라 다릅니다. 이 경우, 예상 수가 있음 의 임계 값보다 크면 1 , 따라서 흡광 확률 미만이고 1 .$3/2,$$1$$1$

이후 아메바 예상 개수 고려하여 하나 분화 이후 예상 개수 미만인지를 구분 한 것을 쉽게 표시 할 수 1 , 소등의 확률은 1 . 문제의 다른 절반은 확실하지 않습니다.$k$$1$$1$

Like the answer from Mike Anderson says you you can equate the probability for a lineage of an amoeba to become extinct to a sum of probabilities of the lineage of the childs to become extinct.

$$p_{parent} = \frac{1}{4} p_{child}^3 + \frac{1}{4} p_{child}^2 + \frac{1}{4} p_{child} + \frac{1}{4}$$

그런 다음 계보가 멸종 될 부모와 자녀의 확률을 동일하게 설정하면 방정식을 얻습니다.

$$p = \frac{1}{4} p^3 + \frac{1}{4} p^2 + \frac{1}{4} p + \frac{1}{4}$$

which has roots $p=1$, $p=\sqrt{2}-1$, and $p=-\sqrt{2}-1$.

The question that remains is why the answer should be $p=\sqrt{2}-1$ and not $p=1$. This is for instance asked in this duplicate Amoeba Interview Question: Is the P(N=0) 1 or 1/2? . In the answer from shabbychef it is explained that one can look at, $E_k$, the expectation value of the size of the population after the $k$-th devision, and see whether it is either shrinking or growing.

To me there is some indirectness in the argumentation behind that and it feels like it is not completely proven.

• For instance in one of the comments Whuber notes that you can have a growing expectation value $E_k$ and also have the probability for extinction in the $k$-th step approach 1. As an example you could introduce a catastrophic event that wipes out the entire amoeba population and it occurs with some probability $x$ in each step. Then the amoeba lineage is almost certain to die. Yet, the expectation of the population size in step $k$ is growing.
• Furthermore, the answer leaves open what we have to think of the situation when $E_k = 1$ (e.g. when an amoeba splits or does not split with equal, 50%, probability, then the lineage of an amoeba becomes extinct with probability almost $1$ eventhough $E_k= 1$)

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Alternative derivation.

Note that the solution $p=1$ can be a vacuous truth. We equate the probability for the parent's lineage to become extinct to the child's lineage to become extinct.

• If 'the probability for the child's lineage to become extinct is equal to $1$'.
  Then 'the probability for the parent's lineage to become extinct is equal to $1$'.

But this does not mean that it is true that 'the probability for the child's lineage to become extinct is $1$'. This is especially clear when there would always be nonzero number of offspring. E.g. imagine the equation:

$$p = \frac{1}{3} p^3 + \frac{1}{3} p^2 + \frac{1}{3} p$$

Could we arive to a solution in a slightly different way?

Let's call $p_k$ the probability for the lineage to get extinct before the $k$-th devision. Then we have:

$$p_1 = \frac{1}{4}$$

and the recurrence relation

$$p_{k+1} = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 + \frac{1}{4} p_k + p_1$$

or

$$\delta_k = p_{k+1} - p_k = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 - \frac{3}{4} p_k + p_1 = f(p_k)$$

So wherever $f(p_k)>1$ the probability to get extinct before the $k$-th devision will increase with increasing $k$.

Convergence to the root and the relation with the expectation value

If the step is smaller than the distance to the root $f(p_k) < p_{\infty}-p_k$ then this increase of the $p_k$ as $k$ grows will not surpass the point where $f(p_\infty) = 0$.

You could verify that this (not surpassing the root) is always the case when the slope/derivative of $f(p_k)$ is above or equal to $-1$, and this in it's turn is always the case for $0\leq p \leq 1$ and polynomials like $f(p) = -p + \sum_{k=0}^{\infty} a_k p^k$ with $a_k \geq 0$.

With the derivative

$$f^\prime(p) = -1 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k k p^{k-1}$$ being in the extreme points equal to $f^\prime(0) = -1$ and $f^\prime(1) = -1 + E_1$ you can see that there must be a minimum between $p=0$ and $p=1$ if $E_1>1$ (and related there must be a root between $0$ and $1$, thus no certain extinction). And opposite when $E_1 \leq 1$ there will be no root between $0$ and $1$, thus certain extinction (except the case when $f(p) = 0$ which occurs when $a_1 = 1$).