무한 랜덤 기하학적 그래프에서 랜덤 워크를 수행하는 로봇의 밀도

노드 위치가 밀도 로 푸 아송 포인트 프로세스를 따르고 가 보다 가까운 노드 사이에 배치 되는 무한 랜덤 기하학적 그래프를 고려하십시오 . 따라서 가장자리의 길이는 다음 PDF를 따릅니다. $\rho$ $d$

f (l) = {\begin{cases} \frac{2 l}{d^{2}} l \leq d \\ 0 l > d \end{cases}

$f(l)= \begin{cases} \frac{2 l}{d^2} \;\quad l \le d \\ 0 \qquad\; l > d \end{cases}$

위의 그래프에서 원호를 중심으로 반지름 의 원 안의 노드를 고려하십시오 . 시간 에서 언급 된 각 노드 내에 작은 로봇을 배치 한다고 가정하십시오 . 즉, 비행기에서 로봇의 밀도는 다음과 같습니다. $r$ $t=0$

g (l) = {\begin{cases} ρ l \leq r \\ 0 l > d \end{cases}

$g(l)= \begin{cases} \rho \quad l \le r \\ 0 \quad\; l > d \end{cases}$ 여기서 은 원점과의 거리입니다. 다음 그림은 로봇의 초기 배치 예를 보여줍니다.

l

$l$

각 시간 단계에서 로봇은 이웃 중 하나에 무작위로 이동합니다.

이제 내 질문은 : 에서 로봇의 밀도 함수는 무엇입니까? 때 밀도 함수를 계산할 수 있습니까? $t>0$ $t \rightarrow \infty$

죄송합니다, 저는 결코 수학자가 아닙니다. 불분명 한 것이 있으면 알려주십시오.

— 헬륨
소스

Wolfgang Woess의 편집자 또는 저자로서 책을 찾아보십시오. 최근 컬렉션 : 랜덤 보행, 경계 및 스펙트럼. Birkhauser, 2011. 2000 년부터 (Cambridge Univ. Press) : 무한한 그래프와 그룹을 무작위로 걷는다.

— 사슴 사냥꾼

헌터 감사합니다. 그의 2011 년 책을 훑어 보았지만 관련된 내용을 찾을 수 없었습니다. 지금은 2000에 액세스 할 수 없지만 일단 찾으면 찾아 볼 것입니다. 책에서 더 구체적인 내용을 기억하면 알려주십시오.

— Helium

여기 시작이 있습니다.

보자 고려중인 공의 반경합니다. $r = d/2$

첫째, 무작위 행보에 읽어 : http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk . 로봇이 하나만 있고 임의의 보행이 2 차원 격자에 있다고 가정하십시오. 작은 경우 행렬 곱셈으로 쉽게 계산할 수 있습니다. 당신은이 알고 당신이 이후에 밟거나 땅을 할 수있는 격자에서 가능한 점 단계. 를이 꼭짓점 의 인접 행렬 이라고하자 . 하자 모두 벡터 수 A의 (S)를 제외하고 의 번째 자리. 첫 번째 행 (및 열)이 $t$ $n = 1 + 4t + 2t(t-1)$ $t$ $A_t$ $n \times n$ $n$ $e_{i,t} \in \{0,1\}^n$ $0$ $1$ $i$ $A_t$ 는 원점에 해당합니다. 그런 다음 단계 후에 정점 있을 확률 은 (여기서 소수는 전치를 의미하고 이고 받는 인상 승). 나는 당신이 이것을 명시 적으로 해결할 수있을 것이라고 확신합니다. 규범 에서 원점과 동일한 거리에있는 모든 것이 동일한 밀도를 가져야 한다는 사실을 사용할 수 있습니다 . $i$ $t$ $e_{1,t}' A_t^t e_{i,t}$ $A^t = A \times A \cdots \times A$ $A$ $t$ $\cal L_1$

워밍업 후 원래 질문으로 넘어 갑시다. 후 단계, 당신은 단지 반경 내에 유한 그래프 고려할 필요가 기원의 주위에 공을 (다른 곳에 확률이 후에 만 도달되는 $t$ $r(t+1)$ $0$ $t$ 단계). 그래프의 인접 행렬을 만들어 격자 사례와 같은 방식으로 사용하십시오.이 작업을 수행하는 방법을 모르겠지만 Markov 이론이 도움이 될 것입니다. 이 분포가 원점을 중심으로 대칭이어야한다는 사실을 우리가 활용할 수있는 한 가지는, 특히 밀도는 원점과의 거리의 함수일뿐입니다. 이렇게하면 일이 쉬워 질 것이므로 단계 후에 원점에서 거리 가 될 확률 만 고려하면됩니다 . 이 문제를 해결 한 후 단계 후에 위치 에서 밀도를 호출하십시오 . 참고 것을 의 함수가 될 것이다 $q$ $t$ $(x,y)$ $t$ $f_t(x,y)$ $f_t$ $r$ . 를이 분포에서 추출한 랜덤 변수라고 하자 . $X$

이제 여러 로봇부터 시작하는 것도 고려해야합니다. 여러 로봇이 동일한 꼭짓점에있을 수 있다고 가정하면 하나의 로봇 케이스보다 훨씬 어렵지 않습니다. 로봇은 원에서 균일하게 시작할 수 있습니다 . 이 원에서 균일하게 샘플링 된 랜덤 변수를 호출하십시오포아송 (Poisson) 수의 로봇이 시작될 것입니다. 은이 포아송 분포에서 추출한 랜덤 변수입니다. 따라서 여러 로봇에서 얻는 밀도는 입니다. $U$ $M$ $MU + X$

의 분포를 완전히 정의하지 않았다는 점을 제외하고는 이것이 솔루션의 합리적인 시작이라고 생각합니다 . 행운과 깔끔한 질문. $X$

— 사용자 1448319
소스

규칙적인 격자에서 단계 후에 점유 가능한 총 위치 수를 어떻게 얻었는지 설명 할 수 있습니까? 예를 들어, , 및 꽂으면 합리적인 답변이 제공되지 않습니다. 대답은 아니어야합니까 ?

t

$t$

t = 0

$t = 0$

t = 1

$t = 1$

t = 2

$t = 2$

t^{2}

$t^2$

— 추기경

오, 잘 잡아 그것은 이어야하고, 이어야 합니다. 은 원점, 는 축, 은 4 개의 삼각 배열입니다. 예를 들어, , 및 및 다른 3 개의 방향, 및 및 다른 4 개의 사분면.

n = 1 + 4 t + 2 (t - 1)^{2}

$n = 1 + 4t + 2(t-1)^2$

n = 1 + 4 t + 2 t (t - 1) = 1 + 2 t + 2 t^{2}

$n= 1 + 4t + 2t(t-1) = 1 + 2t + 2t^2$

1

$1$

+ 4 t

$+4t$

+ 2 t (t - 1)

$+2t(t-1)$

t = 2

$t=2$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0), (2, 0)

$(1,0), (2, 0)$

(1, 1)

$(1,1)$

— user1448319

당신은 어떻게에있을 예정 두 단계 후? (어쩌면 나는 당신이 묘사하고있는 걸을 이해하지 못할 것입니다. 만약 에서 "보통"임의의 걷기를 생각한다면 , 즉 네 가지 기본 방향으로 균일합니다. 내 첫 번째 의견에서 정확해야합니다.)

(1, 0)

$(1,0)$

Z^{2}

$\mathbb Z^2$

— 추기경

에서 시작하는 두 단계 후에 에서 끝날 수 없습니다 . 그러나 두 단계를 거쳐 을 통과 할 수 있습니다. 위에서 설명한대로 를 구성하려면 2 단계 내에 도달 할 수있는 모든 지점을 고려해야합니다 .

(1, 0)

$(1,0)$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0)

$(1,0)$

A_{t}

$A_t$

— user1448319

그것은 사실이지만, 나는 그 말을 의미하는 문장을 취했습니다. 당신은 단계 후에 격자에 착륙 할 수있는 가능한 장소 만이 있다는 것을 알고 있습니다 . $n=1+4t+2(t−1)^2$ $t$ :-) 아마도 편집 내용이 명확 해집니다. 건배.

— 추기경