분포 변수에 대해 가장 잘 알려진 꼬리 범위는 무엇입니까 ?

하자 와 카이 제곱 분포 확률 변수가 될 자유도. 다음 확률에 대해 가장 잘 알려진 경계는 무엇입니까 $X \sim \chi^2_k$ $k$

P [X > t] \leq 1 - δ_{1} (t, k)

$\mathbb{P}[X > t] \leq 1 - \delta_1(t, k)$

과

P [X < z] \leq 1 - δ_{2} (z, k)

$\mathbb{P}[X < z] \leq 1 - \delta_2(z, k)$

여기서 및 는 일부 기능입니다. 관련 논문에 대한 조언을 부탁드립니다. $\delta_1$ $\delta_2$

probability chi-squared

— 엠 콜라
소스

델타를 보완적인 불완전한 감마 함수로 정의하면 정확한 동등성을 얻게됩니다. 분명히 이것들은 가장 날카로운 경계입니다! 이 질문의 요점은 계산기가 불완전한 감마를 계산하지 않고 근사치를 찾고 있지만 여전히 필수 정보를 생략한다는 것입니다. 계산기 가 계산할 수 있는 것을 알 때 까지이 질문에 어떻게 대답 할 수 있습니까?

— whuber

상한을 계산하는 데 관심이 없지만 분석적으로 제어 할 수있는 것을 얻는 데 관심이 있습니다. 로빈이 제공 한 답은 내가 찾던 것입니다. 문제는 Massart와 Laurent이 제공 한 것보다 정확한 범위가 있습니까?

— mkolar

감마 적분은 "분석적으로 제어"될 수 있습니다. 그래서 당신은 무엇을 구별합니까?

— whuber

내가 아는 가장 날카로운 경계는 Massart와 Laurent Lemma 1 p1325입니다.

그들의 경계에 대한 목록은 다음과 같습니다.

P (X - k \geq 2 \sqrt{k x} + 2 x) \leq \exp (- x)

$P(X-k\geq 2\sqrt{kx}+2x)\leq \exp (-x)$

P (k - X \geq 2 \sqrt{k x}) \leq \exp (- x)

$P(k-X\geq 2\sqrt{kx})\leq \exp (-x)$

— 로빈 지라드
소스

두 번째 불평등이 잘못된 것 같거나 뭔가 빠졌습니까?

— mkolar

미안 @mkolar, 지금 수정

— 로빈 지라