“제한적”분포와“정적”분포의 차이점은 무엇입니까?

Markov 체인에 대한 질문을하고 있으며 마지막 두 부분은 다음과 같이 말합니다.

이 Markov 체인에는 제한적인 분포가 있습니다. 답이 "예"이면 제한 분포를 찾으십시오. 대답이 "아니오"인 경우 이유를 설명하십시오.

이 Markov 체인에는 고정 분포가 있습니까? 답이 "예"이면 고정 분포를 찾으십시오. 대답이 "아니오"인 경우 이유를 설명하십시오.

차이점은 무엇입니까? 이전에는 제한 분포가 사용하여 계산할 때라고 생각 $P = CA^n C^{-1}$ 했지만 이것이 $n$ 번째 단계 전이 행렬입니다. 그들은 고정 분포라고 생각하는 사용하여 제한 분포를 계산했습니다 . $\Pi = \Pi P$

그러면 어느 것입니까?

markov-process

— 카이 쉬
소스

예를 들어, 분포 제한에 관한 Karl Sigman의 노트 는 "제한적"및 "정적"분포를 동의어로 정의합니다 (5 페이지 하단의 정의 2.3). 따라서 차이점을 확인하려면 교과서의 정의를 참조 해야합니다 .

— whuber

lim_{n \to \infty} P_{i i}^{(n)}

$\lim_{n \rightarrow \infty} P_{ii}^{(n)}$

Π = (π_{0}, π_{1}, . . ., π_{n})

$\Pi = (\pi_0, \pi_1, ... ,\pi_n)$

@whuber 사실, 이전 제한 배포 질문에서 평등을 못하기 때문에 지금 혼란 스럽습니다 .

π_{0} + π_{1} + π_{2} = 1

$\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1$

— Kaish

고정 분포는 시간이 지남에 따라 안정적인 분포입니다. 내가 아는 한, Markov 체인의 제한 배포는 고정적이며 Markov 체인에 고정 배포가있는 경우 제한 배포이기도합니다.

— shadowtalker

여기 Andreas의 답변 quora.com/…에

— Siddharth Shakya

답변:

에서 확률 적 모델링에 소개 핀 스키와은 Karlin (2011)에 의해 :

$P = ‖ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ‖$ $\mathbf{P}=\left\|\begin{matrix}0 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right\|$ $\pi=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) ‖ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ‖ = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\left\|\begin{matrix}0 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right\|=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

이전 섹션에서는 이미 다음과 같이 " 제한 확률 분포 " 를 정의 했습니다. $\pi$

$lim_{n \to \infty} P_{i j}^{(n)} = π_{j} f o r j = 0, 1, \dots, N$ $\lim_{n\rightarrow\infty}P_{ij}^{(n)}=\pi_j~\mathrm{for}~j=0,1,\dots,N$

그리고 동등하게

$lim_{n \to \infty} \Pr {X_{n} = j | X_{0} = i} = π_{j} > 0 f o r j = 0, 1, \dots, N$ $\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{Pr}\{X_n=j|X_0=i\}=\pi_j>0~\mathrm{for}~j=0,1,\dots,N$ (p. 165).

위의 예제는 결정적으로 진동하므로 시퀀스에 한계가없는 것과 같은 방식 으로 한계가 없습니다. $\{1,0,1,0,1,\dots\}$

그들은 정기적 인 Markov 체인 (모든 n- 단계 전이 확률이 긍정적 인)은 항상 제한적인 분포를 가지고 있으며 그것이 고유 한 음이 아닌 솔루션이어야 함을 증명합니다

$π_{j} = \sum_{k = 0}^{N} π_{k} P_{k j}, j = 0, 1, \dots, N, \sum_{k = 0}^{N} π_{k} = 1$ $\pi_j=\sum_{k=0}^N\pi_kP_{kj},~~j=0,1,\dots,N,\\ \sum_{k=0}^N\pi_k=1$ (p. 168 )

그런 다음 예제와 같은 페이지에

(4.27)을 만족하는 모든 세트 고정 확률 분포 라고합니다. $(\pi_i)_{i=0}^{\infty}$ Markov 체인의 . "고정"이라는 용어는 고정 분포에 따라 Markov 체인이 시작된 특성에서 모든 시점에이 분포를 따릅니다. 공식적으로 인 경우 모든 대해 입니다 . $\operatorname{Pr}\{X_0=i\}=\pi_i$ $\operatorname{Pr}\{X_n=i\}=\pi_i$ $n=1,2,\dots$

여기서 (4.27)은 방정식 세트입니다.

$π_{i} \geq 0, \sum_{i = 0}^{\infty} π_{i} = 1, a n d π_{j} = \sum_{i = 0}^{\infty} π_{i} P_{i j} .$ $\pi_i \geq 0, \sum_{i=0}^{\infty} \pi_i=1,~\mathrm{and}~\pi_j = \sum_{i=0}^{\infty} \pi_iP_{ij}.$

이는 현재 무한한 수의 상태를 제외하고는 위와 동일한 고정 상태입니다.

이 정상 성의 정의를 사용하면 168 페이지의 명령문을 다음과 같이 소급해서 다시 정리할 수 있습니다.

정규 Markov 체인의 제한 배포는 고정 배포입니다.
Markov 체인의 제한 배포가 고정 배포 인 경우 고정 배포는 고유합니다.

— 그림자 추적자
소스

정상성에 대한 '전환 확률이 시간이 지남에 따라 변하지 않는다'는 의미를 명확하게 설명 할 수 있습니까? 제한 및 고정 분포는 주 전체의 확률에 관한 것입니다.

— Juho Kokkala

네, 나는 당신이 당신의 자신의 답변을 썼지 만 더 정확하도록 나의 것을 재구성했습니다.

— shadowtalker

나는 아직도 그것을 얻지 못한다. "무한한 수의 상태를 가진 지금을 제외하고 ..."라고 말할 때 무슨 뜻입니까? 좀 더 명확하게 설명해 주시겠습니까?

— roni

@roni 라고하면 두 표현은 동일하다

N = \infty

$N=\infty$

— shadowtalker

첫 번째 강조 표시된 블록에서 는 예제의 고정 분포이지만 이 진동 하므로 제한적인 분포 가 없으므로 정상 상태가 아닙니다. 이는 고정 분포 만 계산되는 경우 정상 상태의 존재를 보장하지 않음을 의미합니까?

π = (1 / 2, 1 / 2)

$\pi=(1/2,1/2)$

P^{n}

$P^{n}$

— Guoyang Qin

고정식 분포는 이러한 분포이다 단계에서의 상태들에 분포한다는 경우 인 단계에서의 상태에 대한 분포 또한 다음, 이다 . 즉, 리미팅 분포는 이러한 분포이다 초기 분포가 무엇인지에 상관없이, 주 모이는 걸쳐 분포하는 것이 단계의 수가 무한대 같이 $\pi$ $k$ $\pi$ $k+1$ $\pi$

π = π P .

$\begin{equation} \pi = \pi P. \end{equation}$

π

$\pi$

π

$\pi$

lim_{k \to \infty} π^{(0)} P^{k} = π,

$\begin{equation} \lim_{k\rightarrow \infty} \pi^{(0)} P^k = \pi, \end{equation}$

독립적입니다 . 예를 들어, 두 상태가 동전의 측면 인

인 Markov 체인을 고려해 봅시다 . 각 단계는 동전을 거꾸로 뒤집는 것으로 구성됩니다 (확률 1). 상태 분포를 계산할 때 이전 단계에 조건부로 적용되지 않습니다. 즉, 확률을 계산하는 사람은 동전을 볼 수 없습니다. 따라서 전이 행렬은

동전을 무작위로 뒤집어서 초기화하면 (

π^{(0)}

$\pi^{(0)}$

{h e a d s, t a i l s}

$\{heads, tails\}$

P = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

$\begin{equation} P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation}$

) 다음 모든 후속 시간 단계가이 분포를 따릅니다. (공정한 동전을 뒤집어 뒤집어 놓으면 머리 확률은 여전히

입니다.) 따라서

는이 Markov 체인의 고정 분포입니다.

π^{(0)} = (\begin{matrix} 0.5 & 0.5 \end{matrix})

$\pi^{(0)} = \begin{pmatrix}0.5 & 0.5\end{pmatrix}$

0.5

$0.5$

(\begin{matrix} 0.5 & 0.5 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$

그러나,이 체인이 제한 분포를하지 않습니다 : 그것은 확률로 머리를 수 있도록 우리가 동전을 초기화 가정 . 이후의 모든 상태는 초기 상태에 의해 결정되는 바와 같이 다음, 단계 짝수 후 상태 확률 헤드 인 과 같이 홀수 후의 상태 확률 헤드 인 . 이 단계는 아무리 많은 단계를 수행하든 유지되므로 상태 분포는 제한이 없습니다. $2/3$ $2/3$ $1/3$

$6$

P = (\begin{matrix} 1 / 6 & 5 / 6 \\ 5 / 6 & 1 / 6 \end{matrix}) .

$\begin{equation} P = \begin{pmatrix} 1/6 & 5/6 \\ 5/6 & 1/6 \end{pmatrix}. \end{equation}$

0.5

$0.5$

(\begin{matrix} 0.5 & 0.5 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$

— 유호 코 칼라
소스

초기 상태를 잊어 버리는 것에 대한 좋은 지적은 내 대답에서 이것을 완전히 반겼습니다.

— shadowtalker

P = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

$P = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$

@GuoyangQin 새로운 질문이있는 경우 질문으로 질문을 게시 할 수 있습니다 (질문을 제공하는 데 도움이되는 경우이 질문에 연결). 이 맥락에서 "안정적인 상태"가 "정적 분포"를 의미한다고 생각했지만 질문에 용어를 명확하게 정의하는 것이 가장 좋습니다

— Juho Kokkala

표기법을 제쳐두고“정 지적”이라는 단어는“한 번 도착하면 그곳에 머무를 것”을 의미합니다. "제한하는"이라는 단어는 "충분히 가면 결국 도착할 것"을 의미합니다. 이것이 도움이 될 것이라고 생각했습니다.

— 파란 하늘
소스

이것이 질문에 어떻게 적용되는지는 확실하지 않습니다. 설명해 주시겠습니까?

— whuber

안녕하세요 @ whuber, 제한 배포는 반드시 고정 배포이고 고정 배포는 반드시 제한 배포는 아닙니다. 따라서 차이가 있습니다. 이것은 본질적으로 다른 답변과 동일하지만 기억하기가 더 쉽다고 생각합니다.

— BlueSky

설명해 주셔서 감사합니다. 달성하려는 내용을 보여줍니다. 그러나 수학적 정의와 일치하는 방식으로 "고정"에 대한 설명을 해석하는 합리적인 방법을 찾을 수 없습니다.

— whuber

@ whuber BlueSky의 문구는 나에게 "고정 점"이라는 매우 간단한 일반 영어 개념처럼 보입니다. 객체의 의미가 확실하지 않습니다.

— Richard Rast