다중 변수 의존성을 가진 공동 분포에서 한계 분포를 찾는 방법은 무엇입니까?

교과서의 문제 중 하나는 다음과 같습니다. 2 차원 확률 연속 벡터는 다음 밀도 함수를 갖습니다.

f_{X, Y} (x, y) = {\begin{cases} 15 x y^{2} & if 0 < x < 1 and 0 < y < x \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 15xy^2 & \text{if 0 < x < 1 and 0 < y < x}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

한계 밀도 함수 및 는 다음 과 같습니다. $f_X$ $f_Y$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 5 x^{4} & if 0 < x < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X}(x)= \begin{cases} 5x^4 & \text{if 0 < x < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

f_{Y} (y) = {\begin{cases} \frac{15}{2} y^{2} (1 - y^{2}) & if 0 < y < 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{Y}(y)= \begin{cases} \scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2(1-y^2) & \text{if 0 < y < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$

대해 를 에서 로 통합 하여 밀도 함수 를 계산 하는 방법을 이해합니다 . 그러나 에서 완전히 잃어 버렸습니다 . 는 어디에서 왔습니까? 와 관련하여 에서 까지 통합 하면 만 얻을 수 있으며 왜 입니까? $f_X$ $f_{X,Y}$ $0$ $x$ $y$ $f_Y$ $(1-y^2)$ $0$ $1$ $x$ $\scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2$ $0 < y < 1$

인 모든 값 이 파란색으로 표시된 지원을 그래프로 표시했습니다 . $X,Y$ $f_{X,Y}>0$

$ X, Y $ 지원

— soren.qvist
소스

그것은 당신의 지원의 그림 그리는 데 도움이 될 수 있습니다 (의 집합이다 있는 ). 질문에 즉시 대답해야합니다.

(X, Y)

$(X,Y)$

(x, y)

$(x,y)$

f (x, y) \neq 0

$f(x,y)\ne 0$

— whuber

@ whuber 좋아. 그래서 나는 지원을 그래프로 만들었고 왜 그것이 0 <y <1인지 이해한다고 생각한다. 왜냐하면 x는 0 <x <1에만 정의되어 있고 0 <y <x이기 때문에 자연스럽게 y는 0에서 1까지 정의 되었습니까? 그러나 나는 여전히 (1-y ^ 2) 부분을 이해하지 못합니다.

— soren.qvist

힌트 :의 한계 밀도

은 IS 적분 의

하는 고정 값

, 만에 대해 제로가 아닌

만족

. 즉,

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

f_{X, Y} (x, y)

$f_{X,Y}(x,y)$

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y < x < 1$

이 부분은

부분의 시작 부분입니다.

f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d x = \int_{y}^{1} 15 x y^{2} d x

$f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx = \int_y^1 15xy^2 dx$

(1 - y^{2})

$(1-y^2)$

— Dilip Sarwate

y

$y$

0 < y < 1

$0 < y < 1$

x

$x$

y < x < 1

$y<x<1$

f_{Y} (0.4)

$f_Y(0.4)$

x

$x$

(15 (0.4)^{2}) x = 2.4 x

$(15(0.4)^2)x=2.4x$

x

$x$

0.4

$0.4$

1

$1$

0

$0$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

$f_{Y}(y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $f_{X,Y}(x,y)$ $X$ $X=y$ $X=1$ $Y=X$ $X=1$

$X=y$ $X=1$

{에프}_{와이} (와이) = \int_{와이}^{1} {에프}_{엑스, 와이} (엑스, 와이) 디 엑스 = \int_{와이}^{1} 15 엑스 {와이}^{2} 디 엑스 = 15 {와이}^{2} \int_{와이}^{1} 엑스 디 엑스 = 15 {와이}^{2} (\frac{1}{2} {엑스}^{2} |_{와이}^{1}) = \frac{15}{2} {와이}^{2} (1 - {와이}^{2}) .

$f_{Y}(y)= \int_{y}^{1} f_{X,Y}(x,y) dx= \int_{y}^{1} 15xy^{2} dx=15y^{2}\int_{y}^{1} x dx=15y^{2}\left(\frac{1}{2}x^2\Big|_y^1\right)\\=\frac{15}{2}y^2(1-y^2).$

— 사용자 3487564
소스