지수 랜덤 변수의 조건부 기대


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임의 변수 ( )의 경우 같아야 무 메모리 속성에 의해 이후의 분포 동일하다 있지만만큼 우측으로 시프트 .XExp(λ)E[X]=1λE[X|X>x]x+E[X]X|X>xXx

그러나 나는 메모리리스 속성을 사용하여 구체적인 증거를 제공하기 위해 고심하고 있습니다. 도움을 주시면 감사하겠습니다.

감사.


힌트 : 에 대응하는 수학 식이다 "만큼 우측으로 시프트 "등이제 오른쪽의 적분에서 변수를 변경하십시오. fX|X>a(x)=fX(xa)a
E[XX>a]=xfXX>a(x)dx=xfX(xa)dx.
Dilip Sarwate

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참고 하는 절단 분포가 "아래립니다 ".Specially가 이동 지수 분포 지수가없는 이동 메모리없이 속성을 . X|X>xx
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답변:


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무 메모리 속성으로의 분포 의 것과 동일 만에 의해 오른쪽으로 이동 .X|X>xXx

하자 확률 밀도 함수 (PDF)에 나타내는 . 그런 다음, 당신이 올바르게 상태에 대한 수학 공식 즉, 조건 의 PDF 점을 감안 의 것과 동일 만에 의해 오른쪽으로 이동 입니다 입니다. 따라서, 는 기대 값 의 주어진 있다 fX(t)XX{X>x}Xx fXX>x(t)=fX(tx)E[XX>x]X{X>x}

E[XX>x]=tfXX>x(t)dt=tfX(tx)dt=(x+u)fX(u)duon substituting u=tx=x+E[X].
계산에서 의 밀도를 명시 적으로 사용 하지 않았으며 (i) pdf 아래의 영역이 이고 (ii) 정의 라는 것을 기억하면 명시 적 으로 통합 할 필요조차 없습니다. pdf의 관점에서 연속 랜덤 변수의 예상 값.X1


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들면 , 이벤트 확률 가지고 . 따라서 그러나 (Feyinman의 트릭을 사용하여 재미 있기 때문에 지배적 수렴 정리에 의해 입증 됨) { X > x } P { X > x } = 1 F X ( x ) = e λ x > 0x>0{X>x}P{X>x}=1FX(x)=eλx>0

E[XX>x]=E[XI{X>x}]P{X>x},
E[XI{X>x}]=xtλeλtdt=()
()=λxddλ(eλt)dt=λddλxeλtdt
=λddλ(1λxλeλtdt)=λddλ(1λ(1FX(x)))
=λddλ(eλxλ)=(1λ+x)eλx,
원하는 결과를 제공합니다.
E[XX>x]=1λ+x=E[X]+x.

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Feynman의 트릭을 사용하는 것은 흥미롭지 만, 부분적으로 통합하여
xtλeλtdt=teλt|x+xeλtdt=(x+1λ)eλx?
Dilip Sarwate
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