들면 , 이벤트 확률 가지고 . 따라서
그러나
(Feyinman의 트릭을 사용하여 재미 있기 때문에 지배적 수렴 정리에 의해 입증 됨)
{ X > x } P { X > x } = 1 − F X ( x ) = e − λ x > 0x>0{X>x}P{X>x}=1−FX(x)=e−λx>0
E[X∣X>x]=E[XI{X>x}]P{X>x},
E[XI{X>x}]=∫∞xtλe−λtdt=(∗)
(∗)=−λ∫∞xddλ(e−λt)dt=−λddλ∫∞xe−λtdt
=−λddλ(1λ∫∞xλe−λtdt)=−λddλ(1λ(1−FX(x)))
=−λddλ(e−λxλ)=(1λ+x)e−λx,
원하는 결과를 제공합니다.
E[X∣X>x]=1λ+x=E[X]+x.