Markov 체인의 주기성에 대한 직관적 인 설명

누군가 Markov 체인의 주기성이 무엇인지 직관적으로 설명 할 수 있습니까?

다음과 같이 정의됩니다.

모든 상태 $i$ 에 $S$

= gcd { n ∈ N | p ( n ) i i > 0 } = $d_i$$\{n \in \mathbb{N} | p_{ii}^{(n)} > 0\} =1$

당신의 노고에 감사드립니다!

우선, 당신의 정의는 완전히 정확하지 않습니다. Cyan이 제안한 wikipedia의 올바른 정의는 다음과 같습니다.

주기성 (출처 : wikipedia )

상태 i 로의 복귀가 k 시간 단계의 배수로 발생해야하는 경우 상태 i는주기 k를 갖는다. 공식적으로, 국가의 기간은 다음과 같이 정의됩니다

k = $gcd\{ n: \Pr(X_n = i | X_0 = i) > 0\}$

(여기서 "gcd"는 최대 공약수입니다). 상태에주기 k가 있더라도 k 단계로 상태에 도달하지 못할 수도 있습니다. 예를 들어, {6, 8, 10, 12, ...} 시간 단계에서 상태로 돌아갈 수 있다고 가정하십시오. 이 목록에 2가 나타나지 않더라도 k는 2입니다.

k = 1 인 경우 상태는 비 주기적이라고합니다. 불규칙한 시간에 발생할 수있는 상태 i로 돌아갑니다. 다시 말해, 상태 n은 모든 n '≥ n에 대해 n이 존재하면 비 주기적이며,

$Pr(X_{n'} = i | X_0 = i) > 0.$

그렇지 않으면 (k> 1), 상태는주기 k와 주기적이라고합니다. 모든 상태가 비 주기적이라면 Markov 체인은 비 주기적입니다.

내 설명

주기성이라는 용어는 무언가 (사건 또는 여기서 : 특정 주 방문)가 규칙적인 시간 간격으로 발생하는지 여부를 나타냅니다. 여기에서 시간은 방문한 주 수로 측정됩니다.

첫 번째 예 :

이제 시계가 마르코프 체인을 나타내고 매 시간마다 상태를 표시한다고 가정하면 12 개의 주가 있습니다. 모든 상태는 확률이 1 인 12 시간 (상태)마다 시침으로 표시되므로 최대 공약수도 12입니다.

따라서 모든 (시간) 상태는 기간 12와 주기적입니다.

두 번째 예 :

도면의 상태에서 시작하여, 코인 토스의 순서를 설명하는 상상 와 상태 시간 E D S 및 t I L S 토스 최종 경화의 결과를 표시한다.$start$$heads$$tails$

제외한 전이 확률은 상태 (I, J)의 각 쌍에 대해 0.5 > - S t R의 t를 하고 마에 I L S -> S t R의 t를 은 0이다.$heads$$start$$tails$$start$

이제 상태에있는 상상 . 당신은 당신이 방문하기 전에 방문해야 국가의 수 시간 전자 d는 이야 다시는 확률이 0보다 그래서 1,2,3 등이 ... 그것은, 일어날 수 있지만, 때 정확하게 예측할 수 없습니다. 전에 발생할 수있는 방문의 가능한 모든 수의 가장 일반적인 divisior 방문 그래서 시간 전자 D는 이야 다시 1이 수단 h는 전자 D 의이 비 주기적이다.$heads$$heads$$heads$$heads$

$tails$$start$$start$

$n \gt 0$$P^n_{ii} = 0$$P_{ii}$$i$

$> 1$gcd$n$$P$$P^n_{ii}=0$gcd