중앙 제한 정리 및 다수의 법칙

CLT (Central Limit Theorem)에 관한 초보자 질문이 있습니다.

CLT는 iid 임의 변수의 평균이 대략 정규 분포 ( 인 경우 은 summands의 인덱스 임)이거나 표준화 된 무작위 변수는 표준 정규 분포를 갖는다는 것을 알고 있습니다. $n \to \infty$ $n$

이제 대수 법칙은 iid 랜덤 변수의 평균이 (확률 적으로 또는 거의 확실하게) 예상 값으로 수렴한다고 대략적으로 말합니다.

내가 이해하지 못하는 것은 : CLT 상태에서 평균이 대략 정규 분포되어 있다면 어떻게 동시에 예상 값으로 수렴 할 수 있습니까?

수렴은 시간이 지남에 따라 평균이 예상 값이 아닌 값을 취할 확률이 거의 0이므로 분포가 실제로는 정상이 아니라 예상 값을 제외하고 거의 0이 될 것입니다.

모든 설명을 환영합니다.

— 페가
소스

답의 핵심은 질문에 "표준화"라는 단어가 나타나는 곳에 있습니다.

— whuber

죄송하지만 이해가되지 않습니다.

— 페가

힌트 : 한 정리는

\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_i X_i$ 이며 분산은

σ^{2}

$\sigma^2$ 이고 다른 정리는

\frac{1}{n} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{n}\sum_i X_i$ 는

\frac{σ^{2}}{n}

$\frac{\sigma^2}{n}$ 입니다.

— Dilip Sarwate

중앙 한계 정리는 여행에 관한 것이고 다수의 강력한 법칙은 목적지에 관한 것입니다.

— 추기경

이 그림은 (파란색), (빨간색) 및 (금)의 독립적이고 동일하게 분포 된 ( iid ) 정규 분포 (단위 분산 및 평균 )의 평균 분포를 보여줍니다 . $n=1$ $10$ $100$ $\mu$

세 개의 겹치는 PDF

마찬가지로 증가, 평균의 분포가 더욱의 "중심"이된다 . ( "초점"의 의미는 쉽게 정량화된다 : 주위에 고정 된 개방 간격 주어지면 , 내의 분포의 양은 만큼 증가 하고 제한값은 이다.) $n$ $\mu$ $(a,b)$ $\mu$ $[a,b]$ $n$ $1$

그러나 이러한 분포를 표준화 할 때 각 분포의 평균을 하고 단위 분산을 조정합니다. 모두 동일합니다. 이것은 우리가 평균 자체의 PDF가 위쪽으로 튀어 오르고 주위에 초점을 맞추고 있지만, 이 분포는 모두 개별적으로 다르더라도 여전히 정규 모양을 가지고 있음을 알 수 있습니다. $0$ $\mu$

중앙 한계 정리 (Central Limit Theorem)는 유한 분산을 갖는 정규 분포뿐만 아니라 모든 분포로 시작하고 증가함에 따라 iid 값을 사용하여 동일한 게임을 할 때 동일한 것을 볼 수 있다고 말합니다 . 분포는 원래 평균 (대수의 약한 법칙)에 중점을 두지 만 표준화 된 평균 분포는 표준 정규 분포 (중앙 한계 정리)로 수렴됩니다. $n$ $n$

— 우버
소스

@ whuber 꽤 좋은 답변, 나는 우리가 약한 큰 법칙에 의해 무엇을 이해하는지에 대한 설명을 부탁드립니다.

— Subhash C. Davar

@subhash en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers#Weak_law를 참조하십시오 .

— whuber