다차원 점 사이의 분산을 찾는 방법은 무엇입니까?

p에 의해 n 인 p, 즉 n 개의 관측치가있는 행렬 X가 있다고 가정합니다. 각 관측치가 p 차원 공간에 있습니다.

이 n 개의 관측치의 분산을 어떻게 찾을 수 있습니까?

p = 1 인 경우 정규 분산 공식을 사용해야합니다. p> 1 인 경우는 어떻습니까?

variance

— 스탯
소스

$p$ $X = {\left( {{X_1}, \ldots ,{X_p}} \right)^\intercal}$

V a r (X) = E [(X - E X) {(X - E X)}^{⊺}] = (\begin{matrix} V a r (X_{1}) & \dots & C o v (X_{1}, X_{p}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ C o v (X_{p}, X_{1}) & \dots & V a r (X_{p}) \end{matrix})

$Var\left( X \right) = E\left[ {\left( {X - EX} \right){{\left( {X - EX} \right)}^\intercal}} \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {Var\left( {{X_1}} \right)}& \ldots &{Cov\left( {{X_1},{X_p}} \right)} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {Cov\left( {{X_p},{X_1}} \right)}& \ldots &{Var\left( {{X_p}} \right)} \end{array}} \right)$

즉, 랜덤 벡터의 분산은 주 대각선의 모든 분산과 다른 요소의 서로 다른 성분 간의 공분산을 저장하는 행렬로 정의됩니다. 샘플 공분산 행렬은 모집단 변수에 대한 샘플 아날로그를 연결하여 계산됩니다. $p \times p$

\frac{1}{n - 1} (\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i 1} - {\bar{X}}_{\cdot 1})}^{2} & \dots & \sum_{i = 1}^{n} (X_{i 1} - {\bar{X}}_{\cdot 1}) (X_{i p} - {\bar{X}}_{\cdot p}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \sum_{i = 1}^{n} (X_{i p} - {\bar{X}}_{\cdot p}) (X_{i 1} - {\bar{X}}_{\cdot 1}) & \dots & \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i p} - {\bar{X}}_{\cdot p})}^{2} \end{matrix})

$\frac{1}{{n - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)}^2}} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)} } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot 1}}} \right)} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)}^2}} } \end{array}} \right)$ 나타내고 특성에 대한 제 관찰 하고 의 샘플 평균

X_{i j}

${X_{ij}}$

i

$i$

j

$j$

{\bar{X}}_{\cdot j}

${{\bar X}_{ \cdot j}}$

j

$j$ 기능. 요약하면, 랜덤 벡터의 분산은 개별 분산 및 공분산을 포함하는 행렬로 정의됩니다. 따라서 모든 벡터 성분에 대한 표본 분산 및 공분산을 개별적으로 계산하면 충분합니다.

— 필립 버크 하르트
소스