혼합 모형에 대한 조정 표기법

나는 다음과 같은 표기법에 익숙하다.

여기서및

\begin{aligned} y_{i j} & = β_{0} + β_{i} x_{i j} + u_{j} + e_{i j} \\ = β_{0 j} + β_{i} x_{i j} + e_{i j} \end{aligned}

$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_i x_{ij} + u_j + e_{ij}\\ &= \beta_{0j} + \beta_i x_{ij} + e_{ij} \end{align}$

β_{0 j} = β_{0} + u_{j}

$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_j$

여기서및

\begin{aligned} y_{i j} & = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + e_{i j} \\ = β_{0 j} + β_{1 j} x_{i j} + e_{i j} \end{aligned}

$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j} + u_{1j} x_{ij} + e_{ij} \\ &= \beta_{0j} + \beta_{1j} x_{ij} + e_{ij} \end{align}$

β_{0 j} = β_{0} + u_{0 j}

$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_{0j}$

β_{1 j} = β_{1} + u_{1 j}

$\beta_{1j}=\beta_1+u_{1j}$

랜덤 인터셉트 모델과 랜덤 슬로프 + 랜덤 인터셉트 모델의 경우

나는 또한이 매트릭스 / 벡터 표기법을 보았습니다. 나는 "성인을위한 혼합 모델 표기법"입니다 (오빠에 따르면).

여기서 는 고정 효과이고 는 랜덤 효과입니다.

y = X β + Z b + e

$\mathbf{y}=\mathbf{X\beta} + \mathbf{Z b} + \mathbf{e}$

β

$\mathbf{\beta}$

b

$\mathbf{b}$

내가 올바르게 이해했다면, 후자의 표기는 후자의 특정 버전 인 전자에 대한보다 일반적인 표기입니다.

나는 전자가 후자에서 어떻게 파생 될 수 있는지보고 싶습니다.

mixed-model mathematical-statistics

— 조 킹
소스

행렬 표기법에 대해 설명하고 있습니까? 내가 묻는 이유는이 질문에 수학 파생이 필요하지 않기 때문입니다. 모든 수식이 정확히 같은 것을 말하고 서로 연관시키는 것은 행렬 표기법이 어떻게 작동하는지 이해하는 것입니다.

— whuber

@ whuber 나는 행렬 표기법과 행렬 대수를 어느 정도 이해합니다. 그러나 행렬 형식에서 시작하여 다른 형식에 도달하는 방법을 모르겠습니다. 아마도 나는 X와 Z 행렬에 대해 이해하지 못했지만 누군가 누군가 그것을 철자하기를 바랐습니다.

— Joe King

@ whuber 질문을 개선하기 위해 할 수있는 일이 있습니까? 아니면 답변이 필요 없다는 기본 사항이라고 말하고 있습니까?

— Joe King

@JoeKing : 매트릭스 표기법이 정의상 매트릭스가 아닌 표기법과 동등하다고 말하는 것 같습니다. 즉, 이미

(ixj 행렬에 jx1 행렬을 산출하는 ix1 행렬을 가짐)

x_{i j} β_{i}

$x_{ij}\beta_i$

)이있습니다. (

1을 포함시켜

을

로굴릴 수 있습니다.)

y_{i}

$y_i$

y = X β

$y=X\beta$

β_{0}

$\beta_0$

β

$\beta$

X

$X$

— Wayne

@Wayne 두 모델 모두 랜덤 효과와 고정 효과가 있습니다. 첫 번째는 임의의 가로 채기를하는 반면 두 번째는 임의의 가로 채기와 임의의 기울기를가집니다. 만약 내가 "그것을 알아낼"수 있다면 나는 여기서 질문을하지 않을 것입니다 !!!!

— Joe King

랜덤 슬로프와 랜덤 인터셉트가있는 혼합 모델을 고려합니다. 회귀자가 하나 뿐인 경우이 모형은 로 쓸 수 있습니다

y_{i j} = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$

y_{i j}

$y_{ij}$

i

$i$

j

$j$

x_{i j}

$x_{ij}$

ϵ_{i j}

$\epsilon_{ij}$ 각각의 예측 변수와 오차 항.

이 모델은 다음과 같이 행렬 표기법으로 표현할 수 있습니다.

Y = X β + Zb + ϵ,

$\mathbf{Y}=\mathbf{X}\beta + \textbf{Zb} + \epsilon,$

Y = [\begin{matrix} X & Z \end{matrix}] [\begin{matrix} β \\ b \end{matrix}] + ϵ

$\mathbf{Y}= \begin{bmatrix} \mathbf{X} & \textbf{Z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta\\ \mathbf{b} \end{bmatrix}+ \epsilon$

우리가 가지고 있다고 가정하자 $J$ $j=1,\dots,J$ $n_j$ $j$

[\begin{matrix} Y_{1} \\ Y_{2} \\ ⋮ \\ Y_{J} \end{matrix}] = [\begin{matrix} X_{1} & Z_{1} & 0 & 0 & 0 \\ X_{2} & 0 & Z_{2} & 0 & 0 \\ ⋮ & \dots \\ X_{J} & 0 & 0 & 0 & Z_{J} \end{matrix}] [\begin{matrix} β \\ b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{J} \end{matrix}] + [\begin{matrix} ϵ_{1} \\ ϵ_{2} \\ ⋮ \\ ϵ_{J} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \mathbf{Y_1} \\ \mathbf{Y_2} \\ \vdots \\ \mathbf{Y_J} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{X_1} & \mathbf{Z_1} & 0 & 0 & 0 \\ \mathbf{X_2} & 0 & \mathbf{Z_2} & 0 & 0 \\ \vdots & & & \dots & \\ \mathbf{X_J} & 0 & 0 & 0 & \mathbf{Z_J} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta \\ b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_J \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \vdots \\ \epsilon_J \end{bmatrix}$

$\mathbf{Y_j}$ $n_j \times 1$ $j$ $\mathbf{X_j}$ $\mathbf{Z_j}$ $n_j \times 2$ $\epsilon_j$ $n_j \times 1$

그것들을 작성하면 다음과 같습니다.

$\mathbf{Y_j} = \begin{bmatrix} y_{1j}\\ y_{2j}\\ \vdots \\ y_{n_jj} \end{bmatrix}, \mathbf{X_j}=\mathbf{Z_j}=\begin{bmatrix} 1 & x_{1j} \\ 1 & x_{2j} \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n_jj} \end{bmatrix}$ $\epsilon_j = \begin{bmatrix} \epsilon_{1j}\\ \epsilon_{2j}\\ \vdots \\ \epsilon_{n_jj} \end{bmatrix}.$

회귀 계수 벡터는

$\beta = \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \end{pmatrix}$ $b_j=\begin{pmatrix} u_{0j}\\ u_{1j} \end{pmatrix}$

$j$

Y_{j} = X_{j} β + Z_{j} b_{j} + ϵ_{j}

$\mathbf{Y_j} = \mathbf{X_j} \beta + \mathbf{Z_j}b_j + \epsilon_j$

$i$

y_{i j} = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$

i

$i$

1

$1$

n_{j}

$n_j$

— 필립 버크 하르트
소스

Z_{j}

$Z_j$

Z

$Z$

Z_{j}

$Z_j$

Z

$Z$