선형 모델의 경사가 고정 값과 같은지 테스트하는 방법은 무엇입니까?

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간단한 선형 회귀 모델 있고 귀무 가설 을 일반 대안에 대해 검정하려고한다고 가정 합니다. $Z = aX + bY$ $H_0: a=b=\frac{1}{2}$

$\hat{a}$ 및 의 추정치를 사용하고 주위의 신뢰 구간을 얻기 위해 검정을 $SE(\hat{a})$ 추가로 적용 할 수 있다고 생각 합니다 . 이거 괜찮아? $Z$ $\frac{1}{2}$

다른 질문은이 질문과 밀접한 관련이 있습니다. 샘플 $\{(x_1,y_1,z_1),\ldots ,(x_n,y_n,z_n) \}$ 있고 $\chi^2$ 통계를 계산한다고 가정 합니다.

\sum_{i = 1}^{n} \frac{(z_{i} - \frac{x_{i} + y_{i}}{2})^{2}}{\frac{x_{i} + y_{i}}{2}} .

$\begin{equation} \sum_{i=1}^n \frac{(z_i-\frac{x_i+y_i}{2})^2}{\frac{x_i+y_i}{2}}. \end{equation}$ 이 통계를 사용하여 동일한 귀무 가설을 검정 할 수 있습니까?

hypothesis-testing regression

— 란
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선형 회귀 분석에서 $X$ 와 $Y$ 는 랜덤 변수가 아니라고 가정 합니다. 따라서 모델

Z = a X + b Y + ϵ

$Z = a X + b Y + \epsilon$

대수적으로

Z - \frac{1}{2} X - \frac{1}{2} Y = (a - \frac{1}{2}) X + (b - \frac{1}{2}) Y + ϵ = α X + β Y + ϵ .

$Z - \frac{1}{2} X - \frac{1}{2} Y = (a - \frac{1}{2})X + (b - \frac{1}{2})Y + \epsilon = \alpha X + \beta Y + \epsilon.$

여기서 및 입니다. 오류 용어 은 영향을받지 않습니다. 계수를 각각 및 로 추정하여이 모델을 피팅 하고 일반적인 방법으로 가설 을 테스트하십시오 . $\alpha = a - \frac{1}{2}$ $\beta =b - \frac{1}{2}$ $\epsilon$ $\hat{\alpha}$ $\hat{\beta}$ $\alpha = \beta = 0$

질문 끝에 작성된 통계는 공식적인 유사성에도 불구하고 카이 제곱 통계가 아닙니다. 카이 제곱 통계량에는 데이터 값이 아닌 카운트 가 포함되며 공변량이 아닌 분모에 예상 값이 있어야합니다. 하나 이상의 분모 가 0이거나 그 근처에있을 수 있으며,이 공식에 문제가 있음을 나타냅니다. 설득력이없는 경우에도 , 및 측정 단위는 예 : , 파섹 및 ) 일 수 있으므로 와 같은 선형 조합을 (일반적으로) 의미가 없습니다. 아무것도 테스트하지 않습니다. $\frac{x_i+y_i}{2}$ $Z$ $X$ $Y$ $z_i - (x_i+y_i)/2$

— 우버
소스

1

답변 주셔서 감사합니다. 매우 유용했습니다. 사실, 나는 질문의 두 번째 부분을 공식화하는 데별로 정확하지 않았습니다. xs와 ys가 같은 단위로 측정 된 양수라고 상상해보십시오. zs (관측 된 결과)는 어떤 식 으로든 상호 작용이없는 경우 zs는 (x + y) / 2 (예상 결과) 여야한다는 점에서 "상호 작용"을 측정합니다. 내 관점에서 회귀를 귀무 가설 a = b = 1 / 2로 사용하거나 Pearson 's chi ^ 2 통계를 사용하여 적합도를 비교하는 것도 동일했습니다. 이것은 말이됩니까? 감사!

— Lan

1

@Lan 나는 Wolfgang의 대답이 당신이 제안하는 시험을 만드는 방법을 잘 보여주고 있다고 생각합니다. "가상적인 방법으로"가설을 테스트하는 것의 의미를 보여주는 예입니다.

— whuber

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이 가설을 완전 대 축소 모형 검정으로 검정 할 수 있습니다. 이 작업을 수행하는 방법은 다음과 같습니다. 먼저 모델을 피팅하고 해당 모델 에서 잔차를 구합니다. 잔차를 제곱하고 합산하십시오. 이것은 전체 모형에 대한 제곱 오차의 합입니다. 이것을 라고합시다 . 다음으로 계산합니다. 여기서 입니다. 이들은 귀무 가설 하의 잔차입니다. 그들을 제곱하고 요약하십시오. 축소 모형에 대한 제곱 오차의 합입니다. 이것을 이라고합시다 . $Z = aX + bY$ $SSE_f$ $Z - \hat{Z}$ $\hat{Z} = 1/2*X + 1/2*Y$ $SSE_r$

이제 다음을 계산하십시오.

F = , $((SSE_r - SSE_f)/2) / (SSE_f / (n-2))$

여기서 은 샘플 크기입니다. 아래 이 F-통계는과 F 분포는 다음 및 자유도. $n$ $H_0$ $2$ $n-2$

다음은 R을 사용하는 예입니다.

x <- rnorm(n)
y <- rnorm(n)
z <- 1/2*x + 1/2*y + rnorm(n) ### note I am simulating under H0 here

res <- lm(z ~ x + y - 1)
summary(res)
SSE.f <- sum(resid(res)^2)

zhat  <- 1/2*x + 1/2*y
SSE.r <- sum((z-zhat)^2)

F <- ((SSE.r - SSE.f) / 2) / (SSE.f / (n-2))
pf(F, 2, n-2, lower.tail=FALSE) ### this is the p-value

p- 값이 .05 미만인 경우 널을 거부하십시오 ( 가 .05 인 경우). $\alpha$

나는 당신이 정말로 당신의 모델이 인터셉트를 포함하지 않는 것을 의미한다고 가정합니다. 즉, 아니라 모델로 실제로 작업한다고 가정합니다 . $Z = aX + bY$ $Z = c + aX + bY$

— 볼프강
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