바이어스가 알려지지 않은 동전이 주어지면 공정한 동전에서 효율적으로 변수를 생성하십시오.

바이어스 가 알려지지 않은 동전이 주어지면 $p$Bernoulli 분포가 0.5 인 확률을 가능한 한 효율적으로 생성 할 수 있습니까? 즉, 생성 된 변수 당 최소 플립 수를 사용합니다.

이것은 여기에서 논의되고 스택 오버 플로우에서 논의 된 몇 가지 훌륭한 솔루션의 잘 알려진 문제입니다 (하나 이상의 링크를 게시 할 수는 없지만 빠른 Google 검색은 흥미로운 항목을 제공합니다). 위키 백과 항목을보십시오

http://en.wikipedia.org/wiki/Fair_coin#Fair_results_from_a_biased_coin

이것은 고전적인 문제이며, 원래 폰 노이만 (Bon Neumann)이 원인이라고 생각합니다. 한 가지 해결책은 쌍이 다를 때까지 동전을 계속 쌍으로 던지고 쌍의 첫 번째 동전의 결과를 연기하는 것입니다.

$(X_i,Y_i)$$i$$X_i$$Y_i$$p$$P(X_i=H|X_i\neq Y_i)=P(X_i=T|X_i\neq Y_i)$$P(X_i=H|X_i\neq Y_i)=1/2$$X_i\neq Y_i$$(H,T)$$(T,H)$

경험적으로, 그러한 불평등 한 쌍이 될 때까지의 대기 시간은

$p$

$n$$t$ ntn't' ( n$\binom{n}{t}$$n$$t$$n'$$t'$$\binom{n'}{t'}$

설명하기 위해 :

TH 또는 HT에서 동일한 확률을 가지므로 멈출 수 있습니다. 파스칼의 삼각형을 따라 내려 가면 다음 짝수 항은 4, 6, 4입니다. 두 부분 일치를 만들 수 있기 때문에 헤드 하나가 나오면 롤 후 멈출 수 있음을 의미합니다. 우리가 이미 그 일을 중단했을 것입니다. 마찬가지로 는 TTHH와 일치하는 HHTT를 생성합니다 (나머지는 도달하기 전에 이미 중지 했음).$\binom42$

를 들어 , 시퀀스의 모든 접두사를 중단했다. 에서 FFFFTTFT와 FFFFTTTF를 일치시키는 것이 조금 더 흥미로워 집니다.($\binom52$$\binom83$

들면 8 롤 후 정지 갖지 않는 기회이다 우리가 정지 한 경우 롤의 예상 된 수와 . 롤링 쌍이 서로 다를 때까지 롤링을 유지하는 솔루션의 경우 중지하지 않을 가능성은 이며 롤이 4를 멈춘 경우 예상 롤 수입니다. 재귀에 의해 예상되는 플립의 상한 제시된 알고리즘은 입니다. $p=\frac12$$\frac1{128}$$\frac{53}{16}$$\frac{1}{16}$$\frac{128}{127} \cdot \frac{53}{16} = \frac{424}{127} < 4$

중단 점을 인쇄하는 Python 프로그램을 작성했습니다.

import scipy.misc
from collections import defaultdict


bins = defaultdict(list)


def go(depth, seq=[], k=0):
    n = len(seq)
    if scipy.misc.comb(n, k, True) % 2 == 0:
        bins[(n,k)].append("".join("T" if x else "F"
                                   for x in seq))
        return
    if n < depth:
        for i in range(2):
            seq.append(i)
            go(depth, seq, k+i)
            seq.pop()

go(8)

for key, value in sorted(bins.items()):
    for i, v in enumerate(value):
        print(v, "->", "F" if i < len(value) // 2 else "T")
    print()

인쇄물:

FT -> F
TF -> T

FFFT -> F
FFTF -> T

FFTT -> F
TTFF -> T

TTFT -> F
TTTF -> T

FFFFFT -> F
FFFFTF -> T

TTTTFT -> F
TTTTTF -> T

FFFFFFFT -> F
FFFFFFTF -> T

FFFFFFTT -> F
FFFFTTFF -> T

FFFFTTFT -> F
FFFFTTTF -> T

FFFFTTTT -> F
TTTTFFFF -> T

TTTTFFFT -> F
TTTTFFTF -> T

TTTTFFTT -> F
TTTTTTFF -> T

TTTTTTFT -> F
TTTTTTTF -> T