공분산 행렬을 변수의 불확실성으로 변환 할 수 있습니까?

공분산 행렬 를 통해 노이즈 측정을 출력하는 GPS 장치가 있습니다 .$\Sigma$

$\Sigma = \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right]$

(이 또한의 참여하지만하자 잠깐 그것을 무시한다.)$t$

다른 사람에게 각 방향 ( ) 의 정확도 가 숫자 라고 말하고 싶다고 가정 해보십시오 . . 즉, 내 GPS는 나에게 등을 . 이 경우 는 모든 측정 값이 서로 독립적이라는 것을 의미합니다 (공분산) 행렬은 대각선입니다). 또한, 벡터 오차를 찾는 것은 직교 (제곱근의 제곱근)에 오차를 추가하는 것처럼 간단합니다.$x,y,z$$\mu_x, \mu_y, \mu_z$$x=\bar{x}\pm\mu_x$$\mu$

공분산 행렬이 대각선이 아닌 경우 어떻게됩니까? 및 방향 의 효과를 포함 하는 간단한 숫자 가 있습니까? 공분산 행렬이 주어진 것을 어떻게 알 수 있습니까?$\mu_x^*$$y$$z$

모든 공분산 정보를 포함하는 단일 숫자는 없습니다. 6 개의 정보가 있으므로 항상 6 개의 숫자가 필요합니다.

그러나 당신이 고려할 수있는 많은 것들이 있습니다.

먼저, 특정 방향 에서의 오차 (분산) 는 다음과 같이 주어진다.$i$

$\sigma_i^2 = \mathbf{e}_i ^ \top \Sigma \mathbf{e}_i$

여기서 는 관심 방향의 단위 벡터입니다.$\mathbf{e}_i$

이제 세 가지 기본 좌표 대해 이것을 보면 다음을 볼 수 있습니다.$(x,y,z)$

$\sigma_x^2 = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]^\top \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right] = \sigma_{xx}$

$\sigma_y^2 = \sigma_{yy}$

$\sigma_z^2 = \sigma_{zz}$

따라서 별도로 고려되는 각 방향의 오차는 공분산 행렬의 대각선으로 나타납니다. 한 방향 만 고려한다면 상관 관계 만 변경해도 아무런 차이가 없습니다.

당신은 단순히 다음과 같이 진술하는 것이 옳습니다.

$x = \mu_x \pm \sigma_x$

$y = \mu_x \pm \sigma_y$

$z = \mu_z \pm \sigma_z$

이 세 가지 진술 사이의 상관 관계를 암시하지는 않습니다. 각 진술 자체는 완벽하지만 정확하지만 일부 정보 (상관 관계)는 삭제되었습니다.

동일한 오차 상관 관계로 각각 여러 측정을 수행하는 경우 (이는 측정 장비에서 나온 것으로 가정) 공분산 행렬을 대각선으로 만들기 위해 좌표를 회전하는 것이 좋습니다. 그런 다음 서로 관련이 없으므로 각 방향에 개별적으로 오류를 표시 할 수 있습니다.

구적법을 추가하여 "벡터 오류"를 취하는 것에 대해 나는 당신이 무슨 말을하는지 잘 모르겠습니다. 이 세 가지 오류는 다른 수량의 오류입니다. 서로를 취소하지 않으므로 함께 추가 할 수있는 방법을 알 수 없습니다. 당신은 거리에서 오류를 의미합니까?