가중 분산, 한 번 더

편향되지 않은 가중 분산은 이미 여기 와 다른 곳에서 해결 되었지만 여전히 놀라운 양의 혼란이있는 것 같습니다. Wikipedia 기사 뿐만 아니라 첫 번째 링크에 제시된 공식에 대한 합의가있는 것으로 보인다 . 이것은 또한 R, Mathematica 및 GSL (MATLAB 제외)에서 사용하는 공식처럼 보입니다. 그러나 Wikipedia 기사에는 가중 분산 구현에 대한 훌륭한 위생 검사처럼 보이는 다음 줄도 포함되어 있습니다.

예를 들어, {2,2,4,5,5,5} 값이 동일한 분포에서 추출 된 경우이 세트를 비가 중 샘플로 취급하거나 가중 샘플 {2,4, 5}에 해당하는 가중치가 {2,1,3}이고 동일한 결과를 가져와야합니다.

내 계산은 원래 값의 분산에 대해 2.1667의 값을 제공하고 가중 분산에 대한 2.9545를 제공합니다. 나는 그들이 같은 것을 정말로 기대해야 하는가? 그 이유는 무엇?

예, 두 예제 (무가 중 vs 가중)가 동일한 결과를 제공 할 것으로 기대해야합니다.

Wikipedia 기사에서 두 가지 알고리즘을 구현했습니다.

이것은 작동합니다 :

모든 $x_i$ 가 동일한 분포에서 도출되고 정수 가중치 $w_i$ 가 표본에서 발생 빈도를 나타내는 경우 가중 모집단 분산의 편견 추정기는 다음과 같이 제공됩니다.

$s^2\ = \frac {1} {V_1 - 1} \sum_{i=1}^N w_i \left(x_i - \mu^*\right)^2,$

그러나이 (분수 가중치 사용)는 저에게 효과적이지 않습니다.

$x_i$$1/w_i$

$s^2\ = \frac {V_1} {V_1^2-V_2} \sum_{i=1}^N w_i \left(x_i - \mu^*\right)^2$

나는 여전히 두 번째 방정식이 의도 한대로 작동하지 않는 이유를 조사하고 있습니다.

/ 편집 : 두 번째 방정식이 생각대로 작동하지 않는 이유를 발견했습니다. 두 번째 방정식을 정규화 된 가중치 또는 분산 ( "신뢰성") 가중치가있는 경우에만 사용할 수 있으며 편향되지 않은 경우 두 번째 방정식을 사용할 수 있습니다 "반복"가중치를 사용하면 (관찰이 관찰 된 횟수를 계산하여 수학 연산에서 반복해야 함) 총 관측 수를 계산하는 기능이 상실되므로 보정 계수를 사용할 수 없습니다.

가중 및 비가 중 분산을 사용하여 결과의 ​​차이를 설명합니다. 계산이 편향됩니다.

따라서 편향 가중 분산을 원하면 "반복"가중치 만 사용하고 위에 게시 한 첫 번째 방정식을 사용하십시오. 그것이 가능하지 않으면, 당신은 그것을 도울 수 없습니다.

추가 정보가 필요하면 Wikipedia의 기사도 업데이트했습니다. http://en.wikipedia.org/wiki/Weighted_arithmetic_mean#Weighted_sample_variance

그리고 편향되지 않은 가중 공분산에 대한 관련 기사 (사실, Polarization Identity 로 인해 동일한 분산 ) : 가중 된 편향되지 않은 표본 공분산에 대한 올바른 방정식