2 개의 가우스 랜덤 벡터의 내부 곱의 모멘트 생성 기능

누구든지 서로 독립적 으로 로 분포 된 두 개의 가우스 랜덤 벡터의 내부 곱의 모멘트 생성 함수를 계산하는 방법을 제안 할 수 있습니까 ? 이에 대한 표준 결과가 있습니까? 모든 포인터는 높이 평가됩니다.$\mathcal N(0,\sigma^2)$

먼저 사례를 살펴 보겠습니다 . 마지막에 임의의 대한 (쉬운) 일반화가 있습니다.$\Sigma = \sigma\mathbb{I}$$\Sigma$

내부 생성물이 iid 변수의 합임을 관찰하는 것으로 시작하십시오. 각 변수는 두 개의 독립적 인 Normal 변이의 곱이므로, 후자의 mgf를 찾는 질문을 줄입니다. mgfs의 생성물.$(0,\sigma)$

mgf는 통합을 통해 찾을 수 있지만 더 쉬운 방법이 있습니다. 때 와 일반 표준,$X$$Y$

$$XY = ((X+Y)/2)^2 - ((X-Y)/2)^2$$

두 독립 척도 카이 제곱 변수의 차이입니다. (스케일 팩터는 (가)의 편차를하기 때문에 와 동일한 .) 카이 제곱 변량의 MGF이므로 은 MGF 의 인 과의 MGF 이고 . 곱하면 원하는 mgf가 .$1/2$$(X\pm Y)/2$$1/2$$1/\sqrt{1 - 2\omega}$$((X+Y)/2)^2$$1/\sqrt{1-\omega}$$-((X-Y)/2)^2$$1/\sqrt{1+\omega}$$1/\sqrt{1-\omega^2}$

(나중에 참조 통지하는 경우에 및 로 재 스케일링된다 에 의해 그들의 제품 비늘 , 어디서 로 확장한다 도).$X$$Y$$\sigma$$\sigma^2$$\omega$$\sigma^2$

이것은 친숙해 보일 것입니다 : 일정한 상수와 부호까지 자유도 를 갖는 Student t 분포 의 확률 밀도 처럼 보입니다 . (실제로 mgfs 대신 특성 함수 로 작업 했다면 얻습니다 . 이는 Student t PDF에 훨씬 더 가깝습니다.) dfs를 가진 학생 t로서 -중요한 것은 mgf가 근처에서 분석되어야한다는 것입니다. 이것은 분명히 (이항 정리에 의해)입니다.$0$$1/\sqrt{1 + \omega^2}$$0$$0$

이들의 내적의 분포가 가우시안 IID 바로 다음 것을 -vectors은 MGF는 동일 갖는 이 MGF의 제품 -fold$n$$n$

$$(1 - \omega^2 \sigma^4)^{-n/2}, \quad n=1, 2, \ldots.$$

으로 찾는 학생의 t 분포의 특성 기능을, 우리는 PDF 자체에 의해 제공됩니다 (정규화 상수를 찾기 위해 대수의 작은 비트 또는 통합) 추론

$$f_{n,\sigma}(x) = \frac{2^{\frac{1-n}{2}} |x|^{\frac{n-1}{2}} K_{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{|x|}{\sigma ^2}\right)}{\sqrt{\pi } \sigma ^4 \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}$$

( 는 베셀 함수입니다).$K$

예를 들어, 다음은 및 내부 제품과 같은 의 임의 샘플의 히스토그램에 중첩 된 PDF의 플롯입니다 .$10^5$$\sigma=1/2$$n=3$

시뮬레이션에서 mgf의 정확도를 확인하기는 어렵지만 (이항 정리에서)

$$(1 + t^2 \sigma^4)^{-3/2} = 1-\frac{3 \sigma ^4 t^2}{2}+\frac{15 \sigma ^8 t^4}{8}-\frac{35 \sigma ^{12} t^6}{16}+\frac{315 \sigma ^{16} t^8}{128}+\ldots,$$

우리는 순간을 (계승으로 나눈) 읽을 수 있습니다. 에 대한 대칭으로 인해 짝수 모멘트 만 중요합니다. 들면 우리는 다음의 값을 구하여,이 시뮬레이션의 원료 순간 비교한다 :$0$$\sigma=1/2$

 k    mgf           simulation/k!
 2    0.09375       0.09424920
 4    0.00732422    0.00740436
 6    0.00053406    0.00054128
 8    0.00003755    0.00003674
10    2.58 e-6      2.17 e-6

예상대로, 시뮬레이션의 높은 모멘트는 mgf에 의해 주어진 모멘트에서 벗어나기 시작할 것입니다. 그러나 적어도 열 번째 순간까지는 훌륭한 동의가 있습니다.

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또한, 일 때 분포는 이중 지수이다.$n=2$

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일반적인 경우를 처리하려면 먼저 내부 제품이 좌표 독립적 인 객체라는 점에 유의하십시오. 따라서 의 주요 방향 (고유 벡터)을 좌표로 사용할 수 있습니다. 이 좌표에서 내부 곱은 독립 정규 변량 의 독립 곱의 합이며 , 각 성분은 관련 고유 값과 동일한 분산으로 분포됩니다. 따라서 0이 아닌 고유 값을 ( )로 설정하면 mgf는$\Sigma$$\sigma_1^2, \sigma_2^2, \ldots, \sigma_d^2$$0 \le d \le n$

$$\left(\prod_{i=1}^d (1 - \omega^2\sigma_i^4)\right)^{-1/2}.$$

이 추론에서 오류가 없음을 확인하기 위해 가 행렬 인 예제를 작성했습니다.$\Sigma$

$$\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{8} \\ \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{8} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{array} \right)$$

고유 값이

$$\left(\sigma_1^2, \sigma_2^2, \sigma_3^2\right) = \left(\frac{1}{16} \left(17+\sqrt{65}\right),\frac{1}{16} \left(17-\sqrt{65}\right),\frac{3}{8}\right)\approx \left(1.56639,0.558609,0.375\right).$$

특성 함수의 푸리에 변환을 수치 적으로 평가하여 PDF를 계산할 수있었습니다 (여기서 제공된 mgf 공식에서 파생 됨).이 PDF의 플롯은 다음 그림에서 빨간색 선으로 표시됩니다. 동시에, 나는 정규 분포 에서 iid 변이체 를 생성 하고 다른 iid 변이체 를 같은 방식으로 생성하고 내적 계산했습니다 . 플롯은 이러한 내적 제품의 히스토그램을 보여줍니다 (가장 극단적 인 값은 생략 함-범위는 ~ ).$10^6$$X_i$$(0,\Sigma)$$10^6$$Y_i$$10^6$$X_i\cdot Y_i$$-12$$15$

이전과 마찬가지로 계약이 우수합니다. 또한, 순간은 8 시까 지, 10시에서도 합리적으로 잘 일치합니다.

 k    mgf           simulation/k!
 2     1.45313       1.45208
 4     2.59009       2.59605
 6     5.20824       5.29333
 8    11.0994       11.3115
10    24.4166       22.9982

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추가

(2013 년 8 월 9 일 추가됨)

$f_{n,\sigma}$ 는 원래 "혼합 밀도가 감마 분포 인 정규 분산 평균 혼합물"로 정의 된 분산 감마 분포 의 인스턴스입니다 . 표준 위치 ( ), 비대칭 매개 변수 (대칭), 스케일 매개 변수 및 모양 매개 변수 (위키 백과 매개 변수화에 따라)가 있습니다.$0$$0$$\sigma^2$$n/2$