두 가중 랜덤 변수의 분산

허락하다:

랜덤 변수 의 표준 편차$A =\sigma_{1}=5$

랜덤 변수 의 표준 편차$B=\sigma_{2}=4$

그런 다음 A + B의 분산은 다음과 같습니다.

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}p_{1,2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

어디:

$p_{1,2}$ 는 두 랜덤 변수의 상관 관계입니다.

$w_{1}$ 은 랜덤 변수 A의 가중치입니다

$w_{2}$ 는 랜덤 변수 B의 가중치입니다

$w_{1}+w_{2}=1$

아래 그림은 상관 관계 -1 (노란색), 0 (파란색) 및 1 (빨간색)에 대해 A의 가중치가 0에서 1로 변경 될 때 A와 B의 분산을 나타냅니다.

상관 관계가 1 일 때 수식의 결과는 어떻게 직선 (빨간색)입니까? 내가 알 수 있듯이 이면 수식은 다음과 같이 단순화됩니다.$p_{1,2}=1$

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

형식으로 어떻게 표현할 수 있습니까?$y=mx+c$

감사합니다.

사용하여 계산$w_1 + w_2 = 1$

$$\eqalign{ \text{Var}(w_1 A + w_2 B) &= \left( w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2 \right)^2 \cr &= \left( w_1(\sigma_1 - \sigma_2) + \sigma_2 \right)^2 \text{.} }$$

이는 일 때 분산 대 (그림에 옆으로 표시) 의 그래프가 중심 의 포물선 임을 나타냅니다 . 포물선의 어느 부분도 선형이 아닙니다. 함께 및 , 중심에있다 :이 인출되는 스케일의 그래프 아래 방법. 따라서, 당신은 작은 포물선을보고 있는데, 이것은 선형으로 보일 것입니다.$\sigma_1 \ne \sigma_2$$w_1$$\sigma_2 / (\sigma_2 - \sigma_1)$$\sigma_1 = 5$$\sigma_2 = 4$$-5$

경우 , 분산은 이다 의 선형 함수 . 이 경우 플롯은 완벽하게 수직 인 선분이됩니다.$\sigma_1 = \sigma_2$$w_1$

BTW, 당신 은 기본 원칙이 분산의 줄거리가 수직이 아닌 한 선이 될 수 없다는 것을 암시하기 때문에 계산 없이이 대답을 이미 알고 있습니다. 결국, 제한 할 수학적 또는 통계적 금지 없다 사이 거짓으로 과 : 임의 의 값 새로운 랜덤 변수 (랜덤 변수들 A 및 B의 선형 조합)를 결정하고, 따라서 음이 아닌 값을 가져야 그 차이에 대해. 따라서 이러한 모든 곡선 ( 의 전체 수직 범위로 확장 된 경우에도 )은 수직 축의 오른쪽에 있어야합니다. 그것은 수직 라인을 제외한 모든 라인을 배제합니다.$w_1$$0$$1$$w_1$ $w_1$

에 대한 분산도 :$\rho = 1 - 2^{-k}, k = -1, 0, 1, \ldots, 10$

선형이 아닙니다. 공식은 그것이 선형이 아니라고 말합니다. 수학 본능을 믿으십시오!

및 스케일로 인해 그래프에 선형으로 만 나타납니다 . 직접 시도해보십시오 : 몇 군데에서 경사를 계산하면 서로 다른 것을 볼 수 있습니다. 예를 들어 을 선택하여 차이를 과장 할 수 있습니다 .σ 2 = 4 σ 1 = $\sigma_{1}=5$$\sigma_{2}=4$$\sigma_{1}=37$

R 코드는 다음과 같습니다.

a <- 5; b <- 4; p <- 1
f <- function(w) w^2*a^2 + (1-w)^2*b^2 + 2*w*(1-w)*p*a*b
curve(f, from = 0, to = 1)

경사를 확인하려면 다음을 수행하십시오.

(f(0.5) - f(0.4)) / 0.1
(f(0.8) - f(0.7)) / 0.1