양방향 ANOVA에서 상호 작용에 대한 NULL 가설은 무엇입니까?

각각 두 가지 수준 (A1, A2 및 B1, B2)과 응답 변수 (y)를 갖는 두 가지 요인 (A 및 B)이 있다고 가정합니다.

유형의 양방향 ANOVA를 수행 할 때 :

y~A+B+A*B

우리는 세 가지 귀무 가설을 테스트하고 있습니다.

1. 요인 A의 평균에는 차이가 없습니다
2. 요인 B의 평균 차이는 없습니다
3. 요인 A와 B 사이에는 상호 작용이 없습니다

기록 될 때 처음 두 가설은 공식화하기 쉽습니다 (1의 경우 )$H_0:\; \mu_{A1}=\mu_{A2}$

그러나 가설 3은 어떻게 공식화되어야 하는가?

편집 : 두 레벨 이상의 경우 어떻게 구성됩니까?

감사.

가설과 해당 테스트를 명확하게 분리하는 것이 중요하다고 생각합니다. 다음은 균형 잡힌 개체 간 CRF- p q 설계 (균일 한 셀 크기, Kirk 표기법 : 완전 무작위 요인 설계)를 가정합니다.$pq$

Y I의 j 개의 k는 관측이다 I 처리에 J 인자의및 치료 K 인자의 B 와 1 ≤ I ≤ N , 1 ≤ J ≤ P 및 1 ≤ K ≤ Q . 모델은 Y i j k = μ j k + ϵ i ( j k )입니다$Y_{ijk}$$i$$j$$A$$k$$B$$1 \leq i \leq n$$1 \leq j \leq p$$1 \leq k \leq q$$Y_{ijk} = \mu_{jk} + \epsilon_{i(jk)}, \quad \epsilon_{i(jk)} \sim N(0, \sigma_{\epsilon}^2)$

디자인 : B 1 ... B K ... B에 Q의 1 μ 11 ... μ 1 K ... μ 1 Q μ 1 ... ... ... ... ... ... ... J μ J 1 ... μ J K ... μ j 개의 Q의 μ의 J . ... ... ... ... ... ... ... P μ P 1 ... μ$\begin{array}{r|ccccc|l} ~ & B 1 & \ldots & B k & \ldots & B q & ~\\\hline A 1 & \mu_{11} & \ldots & \mu_{1k} & \ldots & \mu_{1q} & \mu_{1.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A j & \mu_{j1} & \ldots & \mu_{jk} & \ldots & \mu_{jq} & \mu_{j.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A p & \mu_{p1} & \ldots & \mu_{pk} & \ldots & \mu_{pq} & \mu_{p.}\\\hline ~ & \mu_{.1} & \ldots & \mu_{.k} & \ldots & \mu_{.q} & \mu \end{array}$

μ j k 는 셀 j k 의 예상 값이며, ϵ i ( j k ) 는해당 셀에서사람 i 의 측정과 관련된 오류입니다. ( ) 표기는 인덱스 된 것을 나타낸다 j 개의 k는 임의의 소정 사람을위한 고정 제가 그 사람이 하나의 상태에서 관찰되기 때문이다. 효과에 대한 몇 가지 정의 :$\mu_{jk}$$jk$$\epsilon_{i(jk)}$$i$$()$$jk$$i$

μ J . = 1q ∑ q k = 1 μjk(인자A의치료j에대한 평균 기대 값)$\mu_{j.} = \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \mu_{jk}$$j$$A$

μ . k = 1p ∑ p j = 1 μjk(인자B의치료k에대한 평균 기대 값)$\mu_{.k} = \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \mu_{jk}$$k$$B$

$\alpha_{j} = \mu_{j.} - \mu$ (effect of treatment $j$ of factor $A$, $\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j} = 0$)

$\beta_{k} = \mu_{.k} - \mu$ (effect of treatment $k$ of factor $B$, $\sum_{k=1}^{q} \beta_{k} = 0$)

$(\alpha \beta)_{jk} = \mu_{jk} - (\mu + \alpha_{j} + \beta_{k}) = \mu_{jk} - \mu_{j.} - \mu_{.k} + \mu$
(interaction effect for the combination of treatment $j$ of factor $A$ with treatment $k$ of factor $B$, $\sum_{j=1}^{p} (\alpha \beta)_{jk} = 0 \, \wedge \, \sum_{k=1}^{q} (\alpha \beta)_{jk} = 0)$

$\alpha_{j}^{(k)} = \mu_{jk} - \mu_{.k}$
(conditional main effect for treatment $j$ of factor $A$ within fixed treatment $k$ of factor $B$, $\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j}^{(k)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \alpha_{j}^{(k)} = \alpha_{j} \quad \forall \, j, k)$

$\beta_{k}^{(j)} = \mu_{jk} - \mu_{j.}$
(conditional main effect for treatment $k$ of factor $B$ within fixed treatment $j$ of factor $A$, $\sum_{k=1}^{q} \beta_{k}^{(j)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \beta_{k}^{(j)} = \beta_{k} \quad \forall \, j, k)$

With these definitions, the model can also be written as: $Y_{ijk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} + (\alpha \beta)_{jk} + \epsilon_{i(jk)}$

This allows us to express the null hypothesis of no interaction in several equivalent ways:

1. $H_{0_{I}}: \sum_{j}\sum_{k} (\alpha \beta)^{2}_{jk} = 0$
   (all individual interaction terms are $0$, such that $\mu_{jk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} \, \forall j, k$. This means that treatment effects of both factors - as defined above - are additive everywhere.)

2. $H_{0_{I}}: \alpha_{j}^{(k)} - \alpha_{j}^{(k')} = 0 \quad \forall \, j \, \wedge \, \forall \, k, k' \quad (k \neq k')$
   (all conditional main effects for any treatment $j$ of factor $A$ are the same, and therefore equal $\alpha_{j}$. This is essentially Dason's answer.)

3. $H_{0_{I}}: \beta_{k}^{(j)} - \beta_{k}^{(j')} = 0 \quad \forall \, j, j' \, \wedge \, \forall \, k \quad (j \neq j')$
   (all conditional main effects for any treatment $k$ of factor $B$ are the same, and therefore equal $\beta_{k}$.)

4. $H_{0_{I}}$: In a diagramm which shows the expected values $\mu_{jk}$ with the levels of factor $A$ on the $x$-axis and the levels of factor $B$ drawn as separate lines, the $q$ different lines are parallel.

An interaction tells us that the levels of factor A have different effects based on what level of factor B you're applying. So we can test this through a linear contrast. Let C = (A1B1 - A1B2) - (A2B1 - A2B2) where A1B1 stands for the mean of the group that received A1 and B1 and so on. So here we're looking at A1B1 - A1B2 which is the effect that factor B is having when we're applying A1. If there is no interaction this should be the same as the effect B is having when we apply A2: A2B1 - A2B2. If those are the same then their difference should be 0 so we could use the tests:

$H_0: C = 0\quad\text{vs.}\quad H_A: C \neq 0.$