가설과 해당 테스트를 명확하게 분리하는 것이 중요하다고 생각합니다. 다음은 균형 잡힌 개체 간 CRF- p q 설계 (균일 한 셀 크기, Kirk 표기법 : 완전 무작위 요인 설계)를 가정합니다.pq
Y I의 j 개의 k는 관측이다 I 처리에 J 인자의및 치료 K 인자의 B 와 1 ≤ I ≤ N , 1 ≤ J ≤ P 및 1 ≤ K ≤ Q . 모델은 Y i j k = μ j k + ϵ i ( j k )입니다 .YijkijAkB1≤i≤n1≤j≤p1≤k≤qϵ i ( j k ) ∼ N ( 0 , σ 2 ϵ )Yijk=μjk+ϵi(jk),ϵi(jk)∼N(0,σ2ϵ)
디자인 :
B 1 ... B K ... B에 Q의 1 μ 11 ... μ 1 K ... μ 1 Q μ 1 ... ... ... ... ... ... ... J μ J 1 ... μ J K ... μ j 개의 Q의 μ의 J . ... ... ... ... ... ... ... P μ P 1 ... μ p k … μ p q μ p . μ .1 … μ . k … μ . q μ A1…Aj…Ap B1μ11…μj1…μp1μ.1…………………Bkμ1k…μjk…μpkμ.k…………………Bqμ1q…μjq…μpqμ.q μ1.…μj.…μp.μ
μ j k 는 셀 j k 의 예상 값이며, ϵ i ( j k ) 는해당 셀에서사람 i 의 측정과 관련된 오류입니다. ( ) 표기는 인덱스 된 것을 나타낸다 j 개의 k는 임의의 소정 사람을위한 고정 제가 그 사람이 하나의 상태에서 관찰되기 때문이다. 효과에 대한 몇 가지 정의 :μjkjkϵi(jk)i()jki
μ J . = 1q ∑ q k = 1 μjk(인자A의치료j에대한 평균 기대 값)μj.=1q∑qk=1μjkjA
μ . k = 1p ∑ p j = 1 μjk(인자B의치료k에대한 평균 기대 값)μ.k=1p∑pj=1μjkkB
αj=μj.−μαj=μj.−μ (effect of treatment jj of factor AA, ∑pj=1αj=0∑pj=1αj=0)
βk=μ.k−μβk=μ.k−μ (effect of treatment kk of factor BB, ∑qk=1βk=0∑qk=1βk=0)
(αβ)jk=μjk−(μ+αj+βk)=μjk−μj.−μ.k+μ(αβ)jk=μjk−(μ+αj+βk)=μjk−μj.−μ.k+μ
(interaction effect for the combination of treatment jj of factor AA with treatment kk of factor BB, ∑pj=1(αβ)jk=0∧∑qk=1(αβ)jk=0)∑pj=1(αβ)jk=0∧∑qk=1(αβ)jk=0)
α(k)j=μjk−μ.kα(k)j=μjk−μ.k
(conditional main effect for treatment jj of factor AA within fixed treatment kk of factor BB, ∑pj=1α(k)j=0∧1q∑qk=1α(k)j=αj∀j,k)∑pj=1α(k)j=0∧1q∑qk=1α(k)j=αj∀j,k)
β(j)k=μjk−μj.β(j)k=μjk−μj.
(conditional main effect for treatment kk of factor BB within fixed treatment jj of factor AA, ∑qk=1β(j)k=0∧1p∑pj=1β(j)k=βk∀j,k)∑qk=1β(j)k=0∧1p∑pj=1β(j)k=βk∀j,k)
With these definitions, the model can also be written as:
Yijk=μ+αj+βk+(αβ)jk+ϵi(jk)Yijk=μ+αj+βk+(αβ)jk+ϵi(jk)
This allows us to express the null hypothesis of no interaction in several equivalent ways:
H0I:∑j∑k(αβ)2jk=0H0I:∑j∑k(αβ)2jk=0
(all individual interaction terms are 00, such that μjk=μ+αj+βk∀j,kμjk=μ+αj+βk∀j,k. This means that treatment effects of both factors - as defined above - are additive everywhere.)
H0I:α(k)j−α(k′)j=0∀j∧∀k,k′(k≠k′)H0I:α(k)j−α(k′)j=0∀j∧∀k,k′(k≠k′)
(all conditional main effects for any treatment jj of factor AA are the same, and therefore equal αjαj. This is essentially Dason's answer.)
H0I:β(j)k−β(j′)k=0∀j,j′∧∀k(j≠j′)H0I:β(j)k−β(j′)k=0∀j,j′∧∀k(j≠j′)
(all conditional main effects for any treatment kk of factor BB are the same, and therefore equal βkβk.)
H0IH0I: In a diagramm which shows the expected values μjkμjk with the levels of factor AA on the xx-axis and the levels of factor BB drawn as separate lines, the qq different lines are parallel.
H_0 = \mu_{A1}=\mu_{A2}
또는\mu_{A_1}
]