양방향 ANOVA에서 상호 작용에 대한 NULL 가설은 무엇입니까?


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각각 두 가지 수준 (A1, A2 및 B1, B2)과 응답 변수 (y)를 갖는 두 가지 요인 (A 및 B)이 있다고 가정합니다.

유형의 양방향 ANOVA를 수행 할 때 :

y~A+B+A*B

우리는 세 가지 귀무 가설을 테스트하고 있습니다.

  1. 요인 A의 평균에는 차이가 없습니다
  2. 요인 B의 평균 차이는 없습니다
  3. 요인 A와 B 사이에는 상호 작용이 없습니다

기록 될 때 처음 두 가설은 공식화하기 쉽습니다 (1의 경우 )H0:μA1=μA2H0:μA1=μA2

그러나 가설 3은 어떻게 공식화되어야 하는가?

편집 : 두 레벨 이상의 경우 어떻게 구성됩니까?

감사.


3
편집 할 수있는 평판은 없지만 H 0 = μ A 1 = μ A 2H0=μA1=μA2 (또는 이중 첨자를 원한다면 μ A 1)μA1 를 원한다고 생각합니다. : H_0 = \mu_{A1}=\mu_{A2}또는 \mu_{A_1}]
Ben Bolker

1
Oups, 요인 이름 수준 을 나타내는 데 대문자를 사용하고 있음을 보지 못했습니다 -@Ben 표기법을 따르십시오.
chl

답변:


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가설과 해당 테스트를 명확하게 분리하는 것이 중요하다고 생각합니다. 다음은 균형 잡힌 개체 간 CRF- p q 설계 (균일 한 셀 크기, Kirk 표기법 : 완전 무작위 요인 설계)를 가정합니다.pq

Y I의 j 개의 k는 관측이다 I 처리에 J 인자의및 치료 K 인자의 B 1 I N , 1 J P 1 K Q . 모델은 Y i j k = μ j k + ϵ i ( j k )입니다 .YijkijAkB1in1jp1kqϵ i ( j k )N ( 0 , σ 2 ϵ )Yijk=μjk+ϵi(jk),ϵi(jk)N(0,σ2ϵ)

디자인 : B 1 ... B K ... B에 Q의 1 μ 11 ... μ 1 K ... μ 1 Q μ 1 ... ... ... ... ... ... ... J μ J 1 ... μ J K ... μ j 개의 Q의 μ의 J . ... ... ... ... ... ... ... P μ P 1 ... μ  p k μ p q μ p . μ .1 μ . k μ . q μ  A1AjAp B1μ11μj1μp1μ.1Bkμ1kμjkμpkμ.kBqμ1qμjqμpqμ.q μ1.μj.μp.μ

μ j k 는 셀 j k 의 예상 값이며, ϵ i ( j k ) 는해당 셀에서사람 i 의 측정과 관련된 오류입니다. ( ) 표기는 인덱스 된 것을 나타낸다 j 개의 k는 임의의 소정 사람을위한 고정 제가 그 사람이 하나의 상태에서 관찰되기 때문이다. 효과에 대한 몇 가지 정의 :μjkjkϵi(jk)i()jki

μ J . = 1q q k = 1 μjk(인자A의치료j에대한 평균 기대 값)μj.=1qqk=1μjkjA

μ . k = 1p p j = 1 μjk(인자B의치료k에대한 평균 기대 값)μ.k=1ppj=1μjkkB

αj=μj.μαj=μj.μ (effect of treatment jj of factor AA, pj=1αj=0pj=1αj=0)

βk=μ.kμβk=μ.kμ (effect of treatment kk of factor BB, qk=1βk=0qk=1βk=0)

(αβ)jk=μjk(μ+αj+βk)=μjkμj.μ.k+μ(αβ)jk=μjk(μ+αj+βk)=μjkμj.μ.k+μ
(interaction effect for the combination of treatment jj of factor AA with treatment kk of factor BB, pj=1(αβ)jk=0qk=1(αβ)jk=0)pj=1(αβ)jk=0qk=1(αβ)jk=0)

α(k)j=μjkμ.kα(k)j=μjkμ.k
(conditional main effect for treatment jj of factor AA within fixed treatment kk of factor BB, pj=1α(k)j=01qqk=1α(k)j=αjj,k)pj=1α(k)j=01qqk=1α(k)j=αjj,k)

β(j)k=μjkμj.β(j)k=μjkμj.
(conditional main effect for treatment kk of factor BB within fixed treatment jj of factor AA, qk=1β(j)k=01ppj=1β(j)k=βkj,k)qk=1β(j)k=01ppj=1β(j)k=βkj,k)

With these definitions, the model can also be written as: Yijk=μ+αj+βk+(αβ)jk+ϵi(jk)Yijk=μ+αj+βk+(αβ)jk+ϵi(jk)

This allows us to express the null hypothesis of no interaction in several equivalent ways:

  1. H0I:jk(αβ)2jk=0H0I:jk(αβ)2jk=0
    (all individual interaction terms are 00, such that μjk=μ+αj+βkj,kμjk=μ+αj+βkj,k. This means that treatment effects of both factors - as defined above - are additive everywhere.)

  2. H0I:α(k)jα(k)j=0jk,k(kk)H0I:α(k)jα(k)j=0jk,k(kk)
    (all conditional main effects for any treatment jj of factor AA are the same, and therefore equal αjαj. This is essentially Dason's answer.)

  3. H0I:β(j)kβ(j)k=0j,jk(jj)H0I:β(j)kβ(j)k=0j,jk(jj)
    (all conditional main effects for any treatment kk of factor BB are the same, and therefore equal βkβk.)

  4. H0IH0I: In a diagramm which shows the expected values μjkμjk with the levels of factor AA on the xx-axis and the levels of factor BB drawn as separate lines, the qq different lines are parallel.


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A really impressive answer Caracal - thank you.
Tal Galili

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An interaction tells us that the levels of factor A have different effects based on what level of factor B you're applying. So we can test this through a linear contrast. Let C = (A1B1 - A1B2) - (A2B1 - A2B2) where A1B1 stands for the mean of the group that received A1 and B1 and so on. So here we're looking at A1B1 - A1B2 which is the effect that factor B is having when we're applying A1. If there is no interaction this should be the same as the effect B is having when we apply A2: A2B1 - A2B2. If those are the same then their difference should be 0 so we could use the tests:

H0:C=0vs.HA:C0.H0:C=0vs.HA:C0.


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Thanks Dason, that helped. Also, after reading your reply, it suddenly became clear to me that I am not fully sure how this generalizes in case we are having more factors. Could you advise? Thanks again. Tal
Tal Galili

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You can test multiple contrasts simultaneously. So for example if A had three levels and B had 2 we could use the two contrasts: C1 = (A1B1 - A2B1) - (A2B1 - A2B2) and C2 = (A2B1 - A2B2) - (A3B1 - A3B2) and use a 2 degree of freedom test to simultaneously test if C1 = C2 = 0. It's also interesting to note that C2 could equally have been (A1B1 - A1B2) - (A3B1 - A3B2) and we would come up with the same thing.
Dason

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whuber
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