샘플 자기 공분산 함수에 대한 질문

시계열 분석 책을 읽고 있는데 샘플 자기 공분산 공식은 다음과 같이 책에 정의되어 있습니다.

\hat{γ} (h) = n^{- 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (x_{t + h} - \bar{x}) (x_{t} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}(h) = n^{-1}\displaystyle\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

와 $\widehat{\gamma}(-h) = \widehat{\gamma}(h)\;$ ...에 대한 $\;h = 0,1, ..., n-1$ . $\bar{x}$ 평균입니다.

누가 우리가 합을 나누는 이유를 직관적으로 설명 할 수 있습니까? $n$ 그리고 $n-h$ ? 이 책은 위의 공식이 음이 아닌 명확한 함수이므로 다음과 같이 나눠서 설명합니다. $n$ 선호하지만 이것은 명확하지 않습니다. 누군가 이것을 증명하거나 예 또는 무언가를 보여줄 수 있습니까?

나에게 직관적 인 것은 처음에는 $n-h$ . 이것은 자기 공분산의 편견 또는 편향 추정기입니까?

time-series probability mathematical-statistics

— ep 수미
소스

시계열이 정확히

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

$x_1, x_2, \ldots, x_n$ 다른 모든

x_{i}

$x_i$ ,

i < 1

$i < 1$ 또는

i > n

$i >n$ 알 수없는 경우 합계는 반드시

t = n - h

$t=n-h$ 언제

x_{t + h} = x_{n}

$x_{t+h}=x_n$ 다음에 나오는 용어

t = n - h + 1

$t=n-h+1$ )에 포함 된 금액은

x_{n - h + 1 + h} = x_{n + 1}

$x_{n-h+1+h}=x_{n+1}$ 그 안에

x_{n + 1}

$x_{n+1}$ 샘플의 일부가 아닙니다.

— Dilip Sarwate

@ Dilip 나는 그것이 문제라고 생각하지 않습니다. 질문은 나누는 지에 관한 것입니다.

n

$n$ 또는

n - h

$n-h$ 의 정의에서

\hat{γ}

$\hat{\gamma}$ .

— whuber

$\widehat{\gamma}$ 공분산 행렬을 만드는 데 사용됩니다 : "times" $t_1, t_2, \ldots, t_k$ 랜덤 벡터의 공분산 추정 $X_{t_1}, X_{t_2}, \ldots, X_{t_k}$ (그 당시 무작위 필드에서 얻은) 행렬입니다 $\left(\widehat{\gamma}(t_i - t_j), 1 \le i, j \le k\right)$ . 예측과 같은 많은 문제의 경우, 그러한 모든 행렬이 단수형이 아닌 것이 중요합니다. 추정 공분산 행렬 인 경우 음의 고유 값을 가질 수 없으며, 모두 양의 유한 값이어야합니다.

두 공식의 구별이 가장 간단한 상황

\hat{γ} (h) = n^{- 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (x_{t + h} - \bar{x}) (x_{t} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}(h) = n^{-1}\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

과

{\hat{γ}}_{0} (h) = (n - h)^{- 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (x_{t + h} - \bar{x}) (x_{t} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}_0(h) = (n-h)^{-1}\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

언제인가 $x$ 길이가 $2$ ; 말하다, $x = (0,1)$ . 에 대한 $t_1=t$ 과 $t_2 = t+1$ 계산하기 간단합니다

{\hat{γ}}_{0} = (\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{array}),

$\widehat{\gamma}_0 = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{array} \right),$

단수 인 반면

\hat{γ} = (\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} & \frac{1}{4} \end{array})

$\widehat{\gamma} = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{4} & -\frac{1}{8} \\ -\frac{1}{8} & \frac{1}{4} \end{array} \right)$

고유 값이있는 $3/8$ 과 $1/8$ , 그것이 양의 명확한 경우.

비슷한 현상이 발생합니다 $x = (0,1,0,1)$ , 어디 $\widehat{\gamma}$ 양의 확정이지만 $\widehat{\gamma}_0$ -시대에 적용될 때 $t_i = (1,2,3,4)$ 즉, 등급의 행렬로 퇴화 $1$ (그 항목은 $1/4$ 과 $-1/4$ ).

(여기에 패턴이 있습니다. $x$ 형태의 $(a,b,a,b,\ldots,a,b)$ .)

대부분의 응용에서 일련의 관측 $x_t$ 너무 길어서 대부분 $h$ 관심사-이보다 훨씬 적은 $n$ -의 차이점 $n^{-1}$ 과 $(n-h)^{-1}$ 아무런 결과가 없습니다. 따라서 실제로 구별은 큰 문제가되지 않으며 이론적으로 양의 한정이 필요하다는 것은 편견없는 추정에 대한 가능한 모든 요구보다 우선합니다.

— 우버
소스

두 추정값을 nh로 나누더라도 편향 추정값이라는 점에 유의해야합니다.

— Ran

@ Ran이 추정값이 치우친 것이 맞지만 이것이 중요한 문제라는 데 동의하지 않습니다. 마지막 단락에서 언급했듯이 소량의 치우침이 다른 사람의 걱정 중 가장 적습니다. 편견 추정기

(n - h - 1)^{- 1}

$(n-h-1)^{-1}$ , 거의 다른

\hat{γ}

$\widehat{\gamma}$ 또는

{\hat{γ}}_{0}

$\widehat{\gamma}_0$ .

— whuber

아주 좋은 답변 +1. 아마도 요점을 추가하는 것이 좋습니다

V {\hat{γ}}_{0} (h) = O (1 / (n - h))

$\mathbb{V} \hat{\gamma}_0(h) = O(1/(n-h))$ , 동안

V \hat{γ} (h) = O (1 / n)

$\mathbb{V} \hat{\gamma}(h) = O(1/n)$ , 그렇게 할 때

h

$h$ ~에 가깝다

n

$n$ 견적 자

{\hat{γ}}_{0} (h)

$\hat{\gamma}_0(h)$ 엉뚱한 동안

\hat{γ} (h)

$\hat{\gamma}(h)$ 샘플링 변동이 균일하게 작습니다.

\forall h

$\forall h$ . 이 점에 대한 자세한 내용은 예를 들어 Priestly (1981) "스펙트럼 분석 및 시계열"p324를 참조하십시오.

— Colin T Bowers