가우스 마르코프 정리 : BLUE and OLS

나는 Wikipedia 의 Guass-Markov 정리를 읽고 있는데 , 누군가 정리의 요점을 알아낼 수 있기를 바랐습니다.

행렬 형태의 선형 모델은 다음과 같이 가정합니다.

$$y = X\beta +\eta$$ 우리는 BLUE를 찾고 있습니다. $\widehat\beta$.

이것에 따라 , 나는 라벨을 붙일 것이다$\eta = y - X\beta$ "잔여"와 $\varepsilon = \widehat\beta - \beta$오류". (즉, Gauss-Markov 페이지의 사용법과 반대입니다).

OLS (일반 최소 제곱) 추정기는 다음의 인수로 도출 될 수 있습니다. $||\text{residual}||_2^2 = ||\eta||_2^2$.

자 이제 $\mathbb{E}$기대 연산자를 나타냅니다. 내가 이해하기에 Gauss-Markov 정리가 우리에게 말하는 것은$\mathbb{E}(\eta) = 0$ 과 $\text{Var}(\eta) = \sigma^2 I$그런 다음 모든 선형적이고 편향되지 않은 추정량에 대한 argmin $\mathbb{E}(||\text{error}||_2^2) = \mathbb{E} (||\varepsilon||_2^2)$ 는 OLS 추정기와 동일한 식으로 제공됩니다.

즉

$$\text{argmin}_{\text{} \widehat\beta(y)} \, ||\eta||_2^2 \;=\; (X'X)^{-1}X'y \;=\; \text{argmin}_{\text{linear, unbiased } \widehat\beta(y)} \, \mathbb{E}(||\varepsilon||_2^2)$$

이해가 정확합니까? 그렇다면 기사에서 더 강조 할 가치가 있다고 말 하시겠습니까?

나는 당신이 올바르게 질문을 이해했는지 확실하지 않지만, 당신이 OLS가 $\hat{\beta}$ BLUE (최선 선형 편향 추정기)는 다음 두 가지를 증명해야합니다. $\hat{\beta}$ 편견이없고 $Var(\hat{\beta})$ 모든 선형 편향 추정량 중에서 가장 작습니다.

OLS 추정기가 공정하지 않다는 증거는 여기 http://economictheoryblog.com/2015/02/19/ols_estimator/ 에서 찾을 수 있습니다 .

증명 $Var(\hat{\beta})$모든 선형 편향 추정치 중에서 가장 작습니다. http://economictheoryblog.com/2015/02/26/markov_theorem/

예를 들어 서론 계량 경제학 (Introductory Econometrics) 책의 375 페이지에서 확인 된 바와 같이, 나의 직감이 실제로 올바른 것 같습니다 . 관련 발췌 :