교체품으로 그릴 때 예상되는 중복 수 (3 중 등)

다음과 같은 문제가 있습니다.

100 개의 고유 아이템 (n)이 있으며 한 번에 하나씩 43 (m)을 선택합니다 (교체 포함).

예상되는 고유 수 (한 번만 선택, k = 1), 두 배 (정확히 두 번 k = 2로 선택), 트리플 (정확하게 k = 3), 쿼드 등을 해결해야합니다.

나는 적어도 하나의 이중 (생일 역설)이있을 확률에 대한 많은 결과를 찾을 수 있었지만 인구의 예상 쌍 수는 아닙니다.

probability expected-value birthday-paradox

— 케이틀린 K
소스

몬테카를로 견적이 도움이 되겠습니까, 아니면 닫힌 형태의 답이 필요합니까?

— David J. Harris

닫힌 형식 수식을 선호하므로 n, m 및 k의 다른 값에 쉽게 적용 할 수 있습니다.

— Kaitlyn K

하여 ITerm 선택한다 시간. 여기에서 같이 원하는 모든 수량을 찾을 수 있습니다 예를 들어, 예상되는 페어 수는 $i^{th}$ $\text{Binom}(m, \, 1/n)$

E [number of  pairs] = \sum_{i = 1}^{n} P [i^{t h} item appears twice]

$\mathbb{E}[\text{number of pairs}] = \sum_{i = 1}^n \mathbb{P}[i^{th} \text{ item appears twice}]$

n \cdot P [Binom (m, 1 / n) = 2] .

$n \cdot \mathbb{P}[\text{Binom}(m, \, 1/n) = 2].$

n * dbinom (k, m, 1 / n) 명령을 사용하여 R의 숫자 값을 얻을 수 있습니다.

— 스테판 웨거
소스

이 수식을 ak = 0 또는 1에 사용할 수 있습니까?

— Kaitlyn K

예, 그럴 수 있습니다. k = 0을 사용하면`m 개의 선택된 점 사이에 몇 개의 점이 나타나지 않을까요? '로 해석 할 수 있습니다.

— Stefan Wager

그러나 이러한 사건은 독립적이지 않습니다. 예를 들어 항목 1이 m 번 나타나면 다른 항목은 나타나지 않습니다. 단순히 P를 더할 수는 없습니다.

— asterix314