로그의 예상 값과 분산 (a)

임의의 변수 $X(a) = \log(a)$ 있는데 여기서 a는 정규 분포 $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ 입니다. 나는에 대해 무엇을 말할 수있는 $E(X)$ 와 $Var(X)$ ? 근사치도 도움이 될 것입니다.

— 바위 산
소스

나는 문제가 대수-정규의 "역"에 관한 것이라고 생각한다. 즉, 정상 rv A가 대수-정규 X = exp (A)로 이어지는 경우, 질문자는 X = log (A)의 분포에 대해 물었다. 정의되지 않은 경우가 있습니다 (때로는 음수의 로그가 필요하기 때문). 잘린 법선에 대한 결과가있을 수 있지만 지저분해질 수 있습니다.

— Martin O'Leary

록 포트 로커는 @Martin O'Leary가 지적했듯이 음수 값에 대해

가 정의되어 있지 않기 때문에 이러한 변수

를 수학적으로 사용할 수는 없습니다 . 최소한 당신은 절단해야 할

일부 음수가 아닌 값. 당신이 생각하는 이유 당신이 우리에게 수

정상이 될 수 있는가?

X

$X$

\log (a)

$\log(a)$

a

$a$

a

$a$

— whuber

우리가 상당히 일반적인 의미에서 "근사"를 고려하면 어딘가에 갈 수 있습니다.

우리는 실제 정규 분포가 있다고 가정해야하지만 밀도가 0 근처에서 0이 아닌 것을 제외하고는 거의 정상적인 것입니다.

그럼 가정 해 봅시다 $a$ "약 정상"(그리고 평균 * 근처에 집중) 우리가 우려를 멀리 아예 무시해 수 있다는 의미에서 오는 0 (및 그 이후의 순간에 미치는 영향에 가까운 때문에 아무튼이 '0에 가까워지지 않음'), 지정된 정규 분포와 같은 낮은 차수 모멘트로 Taylor 시리즈를 사용 하여 변형 된 랜덤 변수의 모멘트를 추정 할 수 있습니다 . $a$ $\log(a)$ $a$

일부 변환을 위해 ,이 확장 포함 테일러 시리즈로 (생각 여기서 진행중인 '의 역할 '및 소요 ' ') 의 역할을 수행 한 다음 기대치를 취한 다음 분산 또는 확장 제곱의 기대치를 계산합니다 (이로부터 분산을 얻을 수 있음). $g(X)$ $g(\mu_X + X-\mu_X)$ $g(x+h)$ $\mu_X$ $x$ $X-\mu_X$ $h$

결과 근사 예상 및 분산은 다음과 같습니다.

$\text{E}\left[g(X)\right]\approx g(\mu_X) +\frac{g''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

$\text{Var}\left[g(X)\right]\approx \left(g'(\mu_X)\right)^2\sigma^2_X$

그래서, (나는 오류하지 않은 경우) : $g() = \log()$

E [\log (a)] \approx l o g (μ_{a}) - \frac{σ_{a}^{2}}{2 μ_{a}^{2}}

$\text{E}\left[\log(a)\right]\approx log(\mu_a) -\frac{\sigma_a^2}{2\mu_a^2}$

Var [\log (a)] \approx σ_{a}^{2} / μ_{a}^{2}

$\text{Var}\left[\log(a)\right]\approx \sigma^2_a/\mu_a^2$

* 이것이 당신이 일반적으로의 표준 편차 원하는 좋은 근사치가 될 경우 평균 (변동 계수가 낮은)에 비해 매우 작은 것으로. $a$

— Glen_b-복귀 모니카
소스

로그 용 Taylor 시리즈는 비교적 작은 수렴 반경을 가지므로 이러한 근사를 적용 할 때주의를 기울여야합니다.

— whuber

@whuber 평균 주위에 확장을 위해, 나는 이것이 "의 표준 편차 것을 조언에 해당하는 것이라고 생각 내 대답의 끝이 평균에 비해 매우 작아야한다"- 그 조언을 일부 추가 문제를 놓치고 경우 나는 대답을 고쳐야한다는 것을 다루지 않습니다.

a

$a$

— Glen_b-복지국 모니카

평균에 대한 근사는 에 대해 꽤 잘 작동하고 분산에 대한 대해서는 꽤 잘 작동합니다 .

μ / σ > 1.5

$\mu/\sigma \gt 1.5$

μ / σ > 2.5

$\mu/\sigma \gt 2.5$

— whuber

어떤 경우에 우리가 간접적으로의 수렴에 의존하는 것이 분명 존재 확실히 가치 (사람 ). 제안 된 명시 적 값에 대해서도 감사합니다. 내가 그것을 사용할 때 아마도 약간 과도하게주의하십시오. 두 가지 귀중한 의견.

\ln (1 + x)

$\ln(1+x)$

\ln (μ + y - μ) = \ln [μ {1 + (y - μ) / μ}] = \ln (μ) + \ln [1 + (y - μ) / μ]

$\ln(\mu + y-\mu) = \ln[\mu\{1 + (y - \mu)/\mu\}] = \ln(\mu) + \ln[1 + (y - \mu)/\mu]$

— Glen_b-복귀 모니카