위험률, 확률 밀도, 생존 함수 간의 관계 증명

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나는 생존 분석에 대해 조금 읽고 있으며 대부분의 교과서에는

$h(t)= \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t |T \geq t )}{ \Delta t} =\frac{f(t)}{1-F(t)} (1)$

여기서 $h(t)$ 는 위험률이며

$f(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t)}{ \Delta t}(2)$ 밀도 함수,

$F(t)=Pr(T<t) (3)$ 및

$S(t)=Pr(T>t)=1-F(t) (4)$

또한 그들은

$S(t)= e^{- \int_0^t h(s)ds } (5)$

대부분의 교과서 (적어도 내가 가지고있는 것)는 (1) 또는 (5)에 대한 증거를 제공하지 않습니다. 나는 다음과 같이 (1)을 통과했다고 생각합니다.

$h(t)= \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t |T \geq t )}{ \Delta t}=$ $\lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t ) P(t < T \leq t+\Delta t)}{ P(T \geq t)\Delta t}$ 그중 때문에 (2)와 (4)는 $\lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t )f(t)}{S(t)\Delta t}$ 이지만 $P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t )=1$ 이므로 $h(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}$

사람은 어떻게 증명합니까 (5)?

survival

— 재고 없음
소스

5

가 의 파생어 라는 점에 유의 했습니까 ?

h (t)

$h(t)$

- \log S (t)

$- \log S(t)$

— Stéphane Laurent

그래, 나도 그것을 얻지 못한다 ...

— nostock

(1)의 증거로, 먼저 분자의 두 번째 확률이 1이라고 주장한 다음 (2)와 (4)를 적용해야합니다.

— ocram

왜 순서가 중요합니까?

— nostock

1

주문을 계속 하는 경우, proba 자체가 아니라 으로 제한 이 같다고 주장해야합니다 . 어쨌든, 이것은 세부 사항입니다 ...

Δ t \to 0

$\Delta t \rightarrow 0$

1

$1$

— ocram

15

의 미분 은 따라서 @ StéphaneLaurent에서 언급했듯이 여기서 마지막 평등은 (1)에서옵니다. $S$

\frac{d S (t)}{d t} = \frac{d (1 - F (t))}{d t} = - \frac{d F (t)}{d t} = - f (t)

$\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}} = \frac{\mathrm{d}(1 - F(t))}{\mathrm{dt}} = - \frac{\mathrm{d}F(t)}{\mathrm{dt}} = -f(t)$

- \frac{d \log (S (t))}{d t} = \frac{- \frac{d S (t)}{d t}}{S (t)} = \frac{f (t)}{S (t)} = h (t)

$-\frac{\mathrm{d}\log(S(t))}{\mathrm{dt}} = \cfrac{-\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}}}{S(t)} = \frac{f(t)}{S(t)} = h(t)$

이전 관계의 양측을 모두 취하여 얻으 므로

- \log (S (t)) = \int_{0}^{t} h (s) d s

$-\log(S(t)) = \int_0^t h(s) \, \mathrm{d}s$

S (t) = \exp {- \int_{0}^{t} h (s) d s}

$S(t) = \exp \left\{- \int_0^t h(s) \, \mathrm{d}s\right\}$

이것은 방정식 (5)입니다. 지수의 필수 부분은 누적 위험 라고도하는 통합 위험 입니다 ( ]. $H(t)$ $S(t) = \exp(-H(t))$

— 옥람
소스

당신은 좀 더 명시 적시겠습니까

- \frac{d \log (S (t))}{d t} = \frac{- \frac{d S (t)}{d t}}{S (t)}

$-\frac{\mathrm{d}\log(S(t))}{\mathrm{dt}} = \cfrac{-\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}}}{S(t)}$

— nostock

1

이것이 연쇄 규칙입니다. 우리가 그래서

\frac{d \log (x)}{d x} = \frac{1}{x}

$\frac{\mathrm{d}\, \log(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x}$

\frac{d \log (f (x))}{d x} = \frac{\frac{d f (x)}{d x}}{x}

$\cfrac{\mathrm{d}\, \log(f(x))}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\frac{\mathrm{d}\,f(x)}{\mathrm{d}x}}{x}$

— ocram

마지막 방정식의 오른쪽에있는 x는 f (x)?이어야합니다. 즉, y = log S (t)를 구별합니다. u = S (t)이므로 . 또한 및 입니다. 연쇄 규칙에 따라

\frac{d u}{d t} = d S (t) / d t = S^{'} (t)

$\frac{du}{dt} =dS(t)/dt = S'(t)$

y = l o g S (t) = l o g (u)

$y = log S(t) = log(u)$

\frac{d y}{d u} = \frac{1}{u} = \frac{1}{S (t)}

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} = \frac{1}{S(t)}$

\frac{d y}{d t} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{S (t)} S^{'} (t) = \frac{S^{'} (t)}{S (t)}

$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dt} = \frac{1}{S(t)} S'(t) = \frac{S'(t)}{S(t)}$

— user1420372

@ user1420372 : 그렇습니다. f (x) 여야합니다.

— ocram

3

h (t) = \frac{f (t)}{S (t)}

$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)}\$

= \frac{f (t)}{1 - F (t)}

$= \frac{f(t)}{1-F(t)}$

= \frac{f (t)}{1 - \int_{0}^{t} f (s) d s}

$= \frac{f(t)}{1- \int^t_0{f(s) ds}}$

양측을 통합합니다 : 양변을 구별합니다 :

\int_{0}^{t} h (s) d s = \int_{0}^{t} \frac{f (s)}{1 - \int_{0}^{t} f (s) d s} d s

$\int^t_0 h(s) ds = \int^t_0 \frac{f(s)}{1- \int^t_0{f(s)ds}}ds$

= - \ln [1 - \int_{0}^{t} f (s) d s]_{0}^{t} + c

$= -\ln [1- \int^t_0{f(s)ds}]^t_0+ c$

1 - \int_{0}^{t} f (s) d s = \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]

$1- \int^t_0{f(s)ds} = \exp [-\int^t_0 h(s) ds]$

- f (t) = - h (t) \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]

$-f(t) = -h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

f (t) = h (t) \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]

$f(t) = h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

이므로

h (t) = \frac{f (t)}{S (t)}

$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)}$

S (t) = \frac{f (t)}{h (t)}

$S(t) = \frac{f(t)}{h(t)}$

교체 에 의해 , 따라서 $f(t)$ $h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

S (t) = \frac{h (t) \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]}{h (t)}

$S(t) = \frac{h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]}{h(t)}$

S (t) = \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]

$S(t) = \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

— 바라
소스

3

우리는 다음 방정식을 증명합니다 : 증거 :

S (t) = \exp {- \int_{0}^{t} h (u) d u}

$S(t)=\exp\{-\int_{0}^{t}h(u)du\}$

먼저 증명을 증명합니다.

f (t) = - \frac{d S (t)}{d t}

$f(t)=-\frac{dS(t)}{dt}$

f (t) = \frac{d F (t)}{d t} = \frac{d P (T < t)}{d t} = \frac{d (1 - S (t))}{d t} = - \frac{d S (t)}{d t} ◼

$f(t)=\frac{dF(t)}{dt}=\frac{dP(T<t)}{dt}=\frac{d(1-S(t))}{dt}=-\frac{dS(t)}{dt}\ \blacksquare$ 그리고 우리가 알고있는 대용 에 우리가 얻을 다음 주요 증명을 계속하십시오. 위 방정식의 양변을 통합하면 그러면 결과

h (t) = \frac{f (t)}{S (t)}

$h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}$

f (t)

$f(t)$

h (t)

$h(t)$

h (t) = \frac{- \frac{d S (t)}{d t}}{S (t)}

$h(t)=\frac{-\frac{dS(t)}{dt}}{S(t)}$

\int_{0}^{t} h (u) d u = \int_{0}^{t} \frac{- \frac{d S (t)}{d t}}{S (t)} d t = \int_{0}^{t} - S (t)^{- 1} d S (t) = - [\log S (t) - \log S (0)] = - \log S (t)

$\int_0^th(u)du=\int_0^t\frac{-\frac{dS(t)}{dt}}{S(t)}dt=\int_0^t-S(t)^{-1}dS(t)\\ =-[\log S(t)-\log S(0)]=-\log S(t)$

S (t) = \exp {- \int_{0}^{t} h (u) d u} ◼

$S(t)=\exp\{-\int_0^th(u)du\}\ \blacksquare$

— CCKevin Wang
소스