간단한 null과 대안이 동일한 분포 계열에 속하지 않는 경우 Neyman-Pearson 보조 정리를 적용 할 수 있습니까?

간단한 null과 간단한 대안이 동일한 분포 계열에 속하지 않는 경우에도 Neyman-Pearson 보조 정리를 적용 할 수 있습니까? 그 증거로 볼 수없는 이유를 모르겠습니다.

예를 들어, 단순 널이 정규 분포이고 단순 대안이 지수 분포 인 경우입니다.
가 우도 비율 테스트 할 때 두 분포의 다른 가족에 속하는 복합 대안에 대해 복합 널 (null)을 테스트 할 수있는 좋은 방법?

감사합니다.

hypothesis-testing mathematical-statistics

— 팀
소스

좋은 질문입니다.

— Glen_b-복지국 모니카

질문에서 말했듯이 증거는 두 분포의 형태에 대해 가정하지 않습니다. 수학을 믿어 라.

— Cyan

@Cyan : 우도 비율 검정 이 다른 분포 계열에 속하는 복합 널 및 복합 대안에 적합한 방법입니까?

— Tim

내 이전 의견을 명확히하기 위해 : 사람들이 "아니오"라고 말하는 것을 자주 봅니다. 실제로 는 논문에서도 보인다 . " 이러한 종류의 주장이 자주 대답하지 않은 경우 좋을 것입니다.

— Glen_b-복지국 모니카

때문에 비 질문은 어떤 두 가지 분포

및

연속 한 파라미터 군의 일부

F

$F$

G

$G$

{p F + (1 - p) G},

$\{pF + (1-p)G\},$

0 \leq p \leq 1

$0\le p \le 1$

— whuber

답변:

예 Neyman Pearson Lemma는 간단한 null 및 간단한 대안이 동일한 배포 제품군에 속하지 않는 경우에 적용 할 수 있습니다.

우리의 가장 강력한 (MP) 시험 구성 할 수 있도록 에 대한 의 크기를. $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1 : X\sim \text{Exp}(1)$

특정 에 대해 Neyman Pearson lemma의 핵심 기능은 $k$

ϕ (엑스) = {\begin{cases} 1, & \frac{{에프}_{1} (엑스)}{{에프}_{0} (엑스)} > 케이 \\ 0, & 그렇지 않으면 \end{cases}

$\phi(x) =\begin{cases} 1,&\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}>k \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$

MP의 시험이다 에 대해 의 크기. $H_0$ $H_1$

여기에서

아르 자형 (엑스) = \frac{{에프}_{1} (엑스)}{{에프}_{0} (엑스)} = \frac{{이자형}^{- 엑스}}{\frac{1}{\sqrt{2 π}} {이자형}^{- {엑스}^{2} / 2}} = \sqrt{2 π} {이자형}^{(\frac{{엑스}^{2}}{2} - 엑스)}

$r(x)=\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}=\dfrac{e^{\displaystyle -x}}{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\displaystyle -x^2/2}}=\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}$

참고 이제의 그림을 그리면[응답에서 그림을 구성하는 방법을 모르겠습니다], 그래프에서가 명확 해집니다

r^{'} (x) = \sqrt{2 π} e^{(\frac{x^{2}}{2} - x)} (x - 1) {\begin{cases} < 0, & x < 1 \\ > 0, & x > 1 \end{cases}

$r'(x) =\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}(x-1)\\ \begin{cases}<0 ,& x<1\\>0 ,& x>1 \end{cases}$

r (x)

$r(x)$

r (x) > k ⟹ x > c

$r(x)>k \implies x>c$

그래서하는 particualr 대한 의 MP 시험 인 에 대해 의 크기가. $c$

ϕ (엑스) = {\begin{cases} 1, & 엑스 > 씨 \\ 0, & 그렇지 않으면 \end{cases}

$\phi(x) =\begin{cases} 1,&x>c \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$

H_{o}

$H_o$

H_{1}

$H_1$

테스트 할 수 있습니다

1. 에 대하여 $H_0:X\sim N(0,\dfrac{1}{2})$ $H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
2. 대 $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
3. 대 $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1:X\sim \text{Double Exponential}(0,1)$

네이 먼 피어슨

일반적으로 LRT (likelihood ration test)는 다른 분포 계열에 속하는 복합 null 및 복합 대안에 적합하지 않습니다. LRT는 가 다중 모수 일 때 특히 유용 하며 모수 중 하나에 관한 가설을 검정하고자합니다. . $\mathbb{\theta}$

그게 다야

— 기원 후
소스

Q2. 가능성 비율은 충분한 테스트 통계량이지만 (a) Neyman-Pearson Lemma는 복합 가설에는 적용되지 않으므로 LRT가 반드시 가장 강력한 것은 아닙니다. & (b) 윌크스 정리는 내포 된 가설에만 적용되므로 한 가족이 다른 가족의 특별한 경우 (예 : 지수 / 바 이불, 포아송 / 음 이항)가 아니면 널 (null) 아래의 가능성 비율 분포를 모릅니다. 심지어 무증상.

— Scortchi-복권 모니카
소스

"... 무조건적으로도 널 (null) 하에서 우도 비율의 분포를 모릅니다." 20 줄 이하의 R 라인에서 널 (null) 하에서 시뮬레이션을 코딩 할 수있는 세계에서는 그렇게 큰 관심사가 아닙니다.

— Cyan

@Cyan : 20 줄을 쓰려면 약간의 생각이 필요할 수 있습니다. 복합 null이므로 일반적으로 피벗이 없으며 LR이 반드시 대략적인 피벗이라고 생각하지 않습니다. 난 당신이 LR을 studentize 수도있을 것 같군요 ...

— Scortchi - 분석 재개 모니카

$\alpha$ $\phi$ $\phi$ $\alpha^\mathrm{th}$ $H_0$ $H_1$
Neyman & Pearson의 원본 논문 은 복합 가설에 대해서도 설명합니다. 가족 전체에 적용될 때 가능성 비율이 보수적 인 각 가족에 대해 특정 분포를 선택할 수있는 경우에는 대답이 간단합니다. 예를 들어 중첩 가설에서 발생하는 현상입니다. 그러나 이것이 일어나지 않는 것은 쉽습니다. Cox 의이 백서 에서는 추가로 수행 할 작업에 대해 설명합니다. 여기에서 더 현대적인 접근 방식은 두 가족에 우선 순위를 두어 베이지안 방식으로 접근하는 것입니다.

— Petrelharp
소스

콕스 종이에 대한 훌륭한 참조.

— Scortchi-Monica Monica 복원