FDR을 제어하는 ​​것이 FWER를 제어하는 ​​것보다 덜 엄격한 이유는 무엇입니까?

FDR을 제어하는 ​​것이 Wikipedia 와 같이 FWER를 제어하는 ​​것보다 덜 엄격하다는 것을 읽었습니다 .

FDR 제어 절차는 FWER (Familywise Error Rate) 절차 (예 : Bonferroni 보정)와 비교하여 잘못된 발견에 대해 덜 엄격한 제어를 수행합니다. 이는 제 1 종 오류의 비율을 증가시키는 비용으로 전력을 증가시킵니다. 즉, 허용되어야 할 때 귀무 가설을 기각합니다.

그러나 그것이 어떻게 수학적으로 사실인지 궁금합니다.

FDR과 FWER 사이에는 어떤 관계가 있습니까?

실제로 @cardinal은 종이가 얻는 것처럼 명확하다는 것이 옳습니다. 따라서 가치가있는 내용에 대해 논문에 액세스 할 수없는 경우 Benjamini-Hochberg가 주장하는 방식에 대해 약간 정교하게 설명했습니다.

$Q_e$$v$$r$$r$$s$

요약하면 (임의 변수에 대문자를 사용하고 실현 된 값에 소문자를 사용)

$$Q_e=E\left(\frac{V}{R}\right)=E\left(\frac{V}{V+S}\right)=:E\left(Q\right).$$

$Q=0$$R=0$

$m$$m_0<m$$r=v$$r\geq 1$$q=1$$q=0$

$$\newcommand{\FDR}{\mathrm{FDR}}\newcommand{\FWER}{\mathrm{FWER}}\FDR=E(Q)=1\cdot P(Q=1)+0\cdot P(Q=0)=P(Q=1)=P(V \geq 1)=\FWER$$

$\FDR=\FWER$$\FDR$$\FWER$

$m_0<m$$v>0$$v$$v/r\leq 1$$\mathbf 1_{V\geq 1}$$Q$$\mathbf 1_{V\geq 1}\geq Q$$E$ 불평등은 그대로두고

$$E(\mathbf 1_{V\geq 1})\geq E(Q)=\FDR$$

$E(\mathbf 1_{V\geq 1})=P(V\geq 1)$$\FWER$

$\FWER$$\FWER\leq \alpha$$\FDR\leq\alpha$

$\FDR$$\alpha$$\FWER$$\FDR$$\FWER$

$\FDR$