k 상관 랜덤 변수의 곱의 편차

상관 랜덤 변수 의 곱의 분산은 무엇입니까 ? $k$

variance random-variable

답변:

이 주제에 대해 필요한 것보다 더 많은 정보는 Goodman (1962) : "K 랜덤 변수의 곱의 변이 " 에서 찾을 수 있습니다 .이 변수 는 독립적 인 임의 변수와 잠재적으로 상관 된 임의 변수에 대한 공식과 일부 근사값을 도출합니다. 이전 논문 ( Goodman, 1960 )에서 정확히 두 개의 임의 변수의 곱에 대한 공식이 도출되었는데, 이는 다소 단순하지만 (아직 꽤 나쁘지만), 파생을 이해하려는 경우 시작하기에 더 좋은 위치가 될 수 있습니다 .

그러나 완전성을 위해 다음과 같이 진행됩니다.

두 변수

다음을 가정하십시오.

$x$ 와 는 두 개의 랜덤 변수입니다 $y$
$X$ 와 는 (0이 아닌) 기대입니다 $Y$
$V(x)$ 와 는 분산입니다. $V(y)$
$\delta_x = (x-X)/X$ (그리고 마찬가지로 ) $\delta_y$
$D_{i,j} = E \left[ (\delta_x)^i (\delta_y)^j\right]$
$\Delta_x = x-X$ (그리고 마찬가지로 ) $\Delta_y$
$E_{i,j} = E\left[(\Delta_x)^i (\Delta_y)^j\right]$
$G(x)$ 는 제곱 변동 계수입니다 : ( ) $V(x)/X^2$ $G(Y)$

그런 다음 또는 이와 동등한 것 :

V (x y) = (X Y)^{2} [G (y) + G (x) + 2 D_{1, 1} + 2 D_{1, 2} + 2 D_{2, 1} + D_{2, 2} - D_{1, 1}^{2}]

$V(xy) = (XY)^2[G(y) + G(x) + 2D_{1,1} + 2D_{1,2} + 2D_{2,1} + D_{2,2} - D_{1,1}^2]$

V (x y) = X^{2} V (y) + Y^{2} V (x) + 2 X Y E_{1, 1} + 2 X E_{1, 2} + 2 Y E_{2, 1} + E_{2, 2} - E_{1, 1}^{2}

$V(xy) = X^2V(y) + Y^2V(x) + 2XYE_{1,1} + 2XE_{1,2} + 2YE_{2,1} + E_{2,2} - E_{1,1}^2$

둘 이상의 변수

1960 년 논문은 이것이 독자를위한 연습이라고 제안합니다 (1962 년 논문에 동기를 부여한 것으로 보입니다!).

이 표기법은 비슷하며 몇 가지 확장자가 있습니다.

$(x_1, x_2, \ldots x_n)$ 은 와 대신에 임의의 변수입니다. $x$ $y$
$M = E\left( \prod_{i=1}^k x_i \right)$
$A = \left(M / \prod_{i=1}^k X_i\right) - 1$
$s_i$ = 0, 1 또는 2 $i = 1, 2, \ldots k$
$u$ = 1의 수 $(s_1, s_2, \ldots s_k)$
$m$ = 2의 수 $(s_1, s_2, \ldots s_k)$
$D(u,m) = 2^u - 2$ 대 및 용 , $m=0$ $2^u$ $m>1$
$C(s_1, s_2, \ldots, s_k) = D(u,m) \cdot E \left( \prod_{i=1}^k \delta_{x_i}^{s_i} \right)$
$\sum_{s_1 \cdots s_k}$ 는 세트 합을 나타냅니다. 여기서 $3^k - k -1$ $(s_1, s_2, \ldots s_k)$ $2m + u > 1$

그런 다음 마침내 :

V (\prod_{i = 1}^{k} x_{i}) = \prod X_{i}^{2} (\sum_{s_{1} \dots s_{k}} C (s_{1}, s_{2} \dots s_{k}) - A^{2})

$V\left(\prod_{i=1}^k x_i\right) = \prod X_i^2 \left( \sum_{s_1 \cdots s_k} C(s_1, s_2 \ldots s_k) - A^2\right)$

세부 사항과 약간 더 다루기 쉬운 대략적인 내용은 논문을 참조하십시오!

— 맷 크라우스
소스

Matt Krause의 위의 답변에는 종이 자체뿐만 아니라 실수가 포함되어 있습니다. 함수 C (s1, ..., sk)의 정의에서 그것은 합이 아닌 곱이어야합니다.

— 니콜라스 Gisler

좀 더 자세히 설명해 주시겠습니까? "나-인터넷에서 익명의 사람이기 때문에-그렇게 말하십시오"는 실제로 답이 아닙니다 ...

— Tim

독립 랜덤 변수에 대한 분산 var (x * y)를 임의의 k에 대한 공식을 통해 얻으려고하면 합계가 아닌 곱만 정확한 답을 얻을 수 있음을 알 수 있습니다. 또한 종이를 보면 종이를 볼 수 있습니다 (적어도 내 버전에서는) .59 페이지에서 그는 합계 대신 제품을 사용했습니다.

— 니콜라스 Gisler

두 개의 랜덤 변수의 경우, @macro 는 이 답변 에서 두 개의 상관 된 랜덤 변수의 곱의 분산에 대한 읽기 쉬운 공식을 찾을 수 있습니다 . 이 답변은 또한 의 필수 문제를 나타냅니다. 즉, 표기의 덤불은 우리가 cov 알지 못하면 그 값을 결정할 수없는 항이 있다는 본질적 사실을 은닉합니다. 또는이 양을 결정하기 위해 두 랜덤 변수의 결합 밀도에 대해 충분합니다.

V (x y) = X^{2} V (y) + Y^{2} V (x) + 2 X Y E_{1, 1} + 2 X E_{1, 2} + 2 Y E_{2, 1} + E_{2, 2} - E_{1, 1}^{2},

$V(xy) = X^2V(y) + Y^2V(x) + 2XYE_{1,1} + 2XE_{1,2} + 2YE_{2,1} + E_{2,2} - E_{1,1}^2,$

(x^{2}, y^{2})

$(x^2,y^2)$

— Dilip Sarwate

실제로 의견이되어야했던 편집 제안은 원래 논문에 합계와 곱이 혼합 된 오타가 포함되어 있으며이 답변을 수정해야한다고 제안했습니다. stats.stackexchange.com/review/suggested-edits/83662

— Silverfish

Matt Krause의 멋진 답변에 추가하기 만하면됩니다 (실제로 쉽게 얻을 수 있음). x, y가 독립적이면,

\begin{aligned} E_{1, 1} & = E [(x - E [x]) (y - E [y])] = C o v (x, y) = 0 \\ E_{1, 2} & = E [(x - E [x]) (y - E [y])^{2}] \\ = E [x - E (x)] E [(y - E [y])^{2}] \\ = (E [x] - E [x]) E [(y - E [y])^{2}] = 0 \\ E_{2, 1} & = 0 \\ E_{2, 2} & = E [(x - E [x])^{2} (y - E [y])^{2}] \\ = E [(x - E [x])^{2}] E [(y - E [y])^{2} \\ = V [x] V [y] \\ V [x y] & = E [x]^{2} V [y] + E [y]^{2} V [x] + V [x] V [y] \end{aligned}

$\begin{equation*} \begin{split} E_{1,1} &= E[(x-E[x])(y-E[y])] = Cov(x,y) = 0\\ E_{1,2} &= E[(x-E[x])(y-E[y])^2] \\ &= E[x-E(x)]E[(y-E[y])^2] \\ &= (E[x]-E[x])E[(y-E[y])^2]=0\\ E_{2,1} &= 0\\ E_{2,2} &= E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]\\ &= E[(x-E[x])^2]E[(y-E[y])^2\\ &= V[x]V[y]\\ V[xy] &= E[x]^2 V[y] + E[y]^2 V[x] + V[x]V[y] \end{split} \end{equation*}$

— 아난다
소스

독립적 인 랜덤 변수 의 경우에 대한 결과 는 여기 에서 논의 되었습니다 .

n

$n$

— Dilip Sarwate

Matt가 제공 한 일반 공식 외에도 제로 평균 가우시안 랜덤 변수에 대해 다소 더 명확한 공식이 있음을 주목할 가치가 있습니다. 그것은 Isserlis의 정리에 따르며 , 중심 다변량 정규 분포의 더 높은 모멘트 도 참조하십시오 .

가 평균 0 및 공분산 행렬 갖는 다변량 정규 분포를 따른 다고 가정합니다 . 변수 개수 가 홀수 인 경우 이고 여기서 는 의 모든 파티션 을 분리 된 쌍 으로 합한 것을 의미합니다. 해당 의 위치 $(x_1, \ldots, x_k)$ $\Sigma$ $k$ $E\left(\prod_i x_i\right) = 0$

V (\prod_{i} x_{i}) = E (\prod_{i} x_{i}^{2}) = \sum \prod {\tilde{Σ}}_{i, j}

$V\left(\prod_i x_i\right) = E\left( \prod_i x_i^2\right) = \sum \prod \tilde{\Sigma}_{i,j}$

Σ \prod

$\Sigma \prod$

{1, \dots, 2 k}

$\{1, \ldots, 2k\}$

k

$k$

{i, j}

$\{i, j\}$

k

$k$

{\tilde{Σ}}_{i, j}

$\tilde{\Sigma}_{i,j}$

\tilde{Σ} = (\begin{array}{cc} Σ & Σ \\ Σ & Σ \end{array})

$\tilde{\Sigma} = \left( \begin{array}{cc} \Sigma & \Sigma \\ \Sigma & \Sigma \end{array} \right)$ 는 대한 공분산 행렬입니다. . 경우 , 짝수 케이스에는 우리는 얻을 경우 우리 얻을 합계 15 개 개의 조건이있다.

(x_{1}, \dots, x_{k}, x_{1}, \dots, x_{k})

$(x_1, \ldots, x_k, x_1, \ldots, x_k)$

k

$k$

V (\prod_{i} x_{i}) = \sum \prod {\tilde{Σ}}_{i, j} - {(\sum \prod Σ_{i, j})}^{2} .

$V\left(\prod_i x_i\right) = \sum \prod \tilde{\Sigma}_{i,j} - \left(\sum \prod \Sigma_{i,j}\right)^2.$

k = 2

$k = 2$

V (x_{1} x_{2}) = Σ_{1, 1} Σ_{2, 2} + 2 (Σ_{1, 2})^{2} - Σ_{1, 2}^{2} = Σ_{1, 1} Σ_{2, 2} + (Σ_{1, 2})^{2} .

$V(x_1x_2) = \Sigma_{1,1} \Sigma_{2,2} + 2 (\Sigma_{1,2})^2 - \Sigma_{1,2}^2 = \Sigma_{1,1} \Sigma_{2,2} + (\Sigma_{1,2})^2.$

k = 3

$k = 3$

V (x_{1} x_{2} x_{3}) = \sum Σ_{i, j} Σ_{k, l} Σ_{r, t},

$V(x_1x_2x_3) = \sum \Sigma_{i,j}\Sigma_{k,l}\Sigma_{r,t},$

실제로, 일반 식을 구현하는 것이 가능하다. 가장 어려운 부분은 필요한 파티션을 계산하는 것으로 보입니다. R에서는 setpartspackage 의 함수 를 사용하여이를 수행 할 수 있습니다 partitions. 이 패키지를 사용하여 그것을 위해 2,027,025 파티션을 생성 할 문제가 없었다 에 대한 34,459,425 파티션 도 생성 할 수 있지만, 위해하지 654,729,075 파티션 (내 16기가바이트 노트북에). $k = 8$ $k = 9$ $k = 10$

다른 것들도 주목할 가치가 있습니다. 첫째, 0이 아닌 가우시안 변수의 경우 Isserlis의 정리에서 식을 도출 할 수 있어야합니다. 둘째, 위의 공식이 정규성 편차에 대해 강력한 지, 즉 변수가 다변량 정규 분포가 아니더라도 근사치로 사용될 수 있는지 확실하지 않습니다. 셋째, 위의 공식은 정확하지만 분산이 제품 분포에 대해 얼마나 많은지를 알 수 있습니다. 경우 에도 제품의 분포는 상당히 렙 토쿠 르틱이며, 더 큰 경우 빠르게 렙 토쿠 르틱이됩니다. $k = 2$ $k$

— NRH
소스

깔끔한 접근! 가치있는 것에 대해, 내 대답의 수식에는 조합 폭발이 있습니다 .C에 대한 합산에는 항을 합산하는 것이 포함 됩니다.

O (3^{k})

$O(3^k)$

— 매트 크라우스