내가 어떻게 계산


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가정하자 Φ ( )는 밀도 함수 표준 정규 분포의 분포 함수이다.ϕ()Φ()

적분을 어떻게 계산할 수 있습니까?

Φ(wab)ϕ(w)dw

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이건 다 괜찮아 이것을 포함하는보다 일반적인 결과에 대한 초기 언급은 Ellison (1964, J.Am.Stat.Assoc, 59, 89-95); 정리 2의 목록 1을 참조하십시오.

답변:


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보다 일반적인 표기법은

y(μ,σ)=Φ(xμσ)ϕ(x)dx=Φ(μ1+σ2).

이것은 σ에 대해 적분을 차별화하여 닫힌 형태로 표현 될 수있는 기본 적분을 생성 함으로써 찾을 수 있습니다.μσ

yμ(μ,σ)=12πσ2+1e12μ2σ2+1,

yσ(μ,σ)=μσ2π(σ2+1)3/2e12μ2σ2+1.

이 시스템은 초기 상태로 시작 통합 될 수 = Φ ( X ) φ ( X ) (D) X = 1 / 2 , (쉽게 분화에 의해 확인된다) 소정의 용액을 얻었다.y(0,1)Φ(x)ϕ(x)dx1/2


4
나는 숫자 통합을 통해 답을 재확인와의 비율을 윤곽 , 0 < σ 2 계약이 범위에서 열한 유효 숫자였다. 2μ20<σ2
whuber

와우, 영리한 해결책.
Cam.Davidson.Pilon 2016

2
나는이 검사가 거의 수행 될 수 있다고 생각합니다. 적분 아래의 첫 번째 항은 균일 한 [0,1] 랜덤 변수입니다. 일반 pdf는 대칭이므로 적분은 1 이어야합니다.12
soakley

1
@soakley 귀하의 접근 방식은 에 적용되지만 다른 y 인수에 어떻게 적용되는지는 확실하지 않습니다 . y(0,1)y
whuber

1
@whuber 이해하지 못해서 미안하지만, 미분과 초기 조건에 대한 두 개의 닫힌 양식이 있으면 거기에서 최종 솔루션으로 어떻게 이동합니까? 다시 말해, 미분과 초기 조건에 대한 닫힌 양식 표현식으로 무엇을 했습니까?
user106860

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하자 Y는 독립적 정상 랜덤 변수 일 X ~ N ( , B 2 )Y 표준 정규 확률 변수. 그런 다음 PXYXN(a,b2)Y따라서 총 확률 법칙을 사용하여 P{XY}= P{XYY=w}ϕ(w)

P{XYY=w}=P{Xw}=Φ(wab).
이제, P { X Y } = P { X - Y 0 } 으로 표현 될 수 Φ ( ) 에 주목하여 그 X - Y ~ N ( , B 2 +
P{XY}=P{XYY=w}ϕ(w)dw=Φ(wab)ϕ(w)dw.
P{XY}=P{XY0}Φ() , 따라서 우리는 얻을 Φ ( w - aXYN(a,b2+1) whuber의 답변 결과와 동일합니다.
Φ(wab)ϕ(w)dw=Φ(ab2+1)

2

또 다른 해결책은 다음과 같습니다. 우리는 I ( γ )를 정의합니다.

I(γ)=Φ(ξx+γ)N(x|0,σ2)dx,
γ=ξμI(γ)I(0)=0γ
dIdγ=N((ξx+γ)|0,1)N(x|0,σ2)dx=12πexp(12(ξx+γ)2)12πσ2exp(x22σ2)dx.
(ξx+γ)2+x2σ2=(ξ2+σ2)=ax2+2γξ=bx+γ2=c=a(xb2a)2+(cb24a)(cb24a)=γ24γ2ξ24(ξ2+σ2)=γ2(1ξ2ξ2+σ2)=γ2(11+ξ2σ2)
dIdγ=12πσexp(12(cb24a))2πaa2πexp(12a(xb2a)2)dx=12πσexp(12(cb24a))2πa=12πσ2aexp(12(cb24a))=12π(1+σ2ξ2)exp(12γ21+ξ2σ2)

I(γ)=γ12π(1+σ2ξ2)exp(12z21+ξ2σ2)dz=Φ(γ1+ξ2σ2)

이것은 암시

Φ(ξx)N(x|μ,σ2)dx=I(ξμ)=Φ(ξμ1+ξ2σ2).

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