Fisher 정보 매트릭스의 존재 조건

다른 교과서는 피셔 정보 매트릭스의 존재에 대한 다른 조건을 인용합니다. 이러한 여러 조건이 아래에 나열되어 있으며 각 조건은 "피셔 정보 매트릭스"의 정의 중 일부에 표시됩니다.

1. 표준적인 최소 조건 세트가 있습니까?
2. 아래 5 가지 조건 중 어느 것을 제거 할 수 있습니까?
3. 조건 중 하나를 제거 할 수 있다면 왜 처음에 포함 되었습니까?
4. 조건 중 하나를 해결할 수 없다면, 그것을 명시하지 않은 교과서가 잘못되었거나 적어도 불완전한 정의를 제공 했습니까?

1. 잭스, 통계적 추론 이론 (1971), p. 194.
   행렬 은 모든 대해 양의 값을 갖습니다 . $\mathcal{I}\left(\theta\right)$$\theta\in\Theta$
2. Schervish, 통계 이론 (1997, corr. 2nd printing), 정의 2.78, p. 111
   설정된 모두에 대해 동일 . $C=\left\{x:f\left(x;\theta\right)>0\right\}$$\theta$
3. 보 로프 코프, 수학 통계 (1998). 피. 147 는 지속적으로 구별 할 수있는 wrt 입니다.
   $f\left(x;\theta\right)$$\theta_i$
4. 보 로프 코프, 수학 통계 (1998). 피. 147 는 연속적이고 뒤집을 수 없습니다.
   $\mathcal{I}\left(\theta\right)$
5. Gourieroux & Monfort, 통계 및 계량 모델, Vol I (1995). 정의 (a), pp. 81-82 존재
   $\frac{\partial^2}{\partial\theta_i\partial\theta_j}f\left(x;\theta\right)$

이에 비해 Lehman & Cassella 의 전체 조건 목록은 다음 과 같습니다. 포인트 추정 이론 (1998). 피. 124 :

1. $\Theta$ 는 개방 간격 (유한, 무한 또는 반 무한)입니다.
2. 세트 모두 동일 . $C=\left\{x:f\left(x,\theta\right)>0\right\}$$\theta\in\Theta$
3. $\frac{\partial f\left(x;\theta\right)}{\partial\theta_i}$ 존재하며 유한합니다.

그리고 Barra, Notions fondamentales de statistique mathematique (1971) 의 전체 조건 목록은 다음과 같습니다 . 정의 1, p. 35 :

점수 에 대해 정의 된 모든 , 그 구성 요소들의 각각은 제곱 적분되고 적분 가지고 . $\theta\in\Theta$$=0$

Lehman & Cassella 나 Barra가 각각의 , 내가 조사한 대부분의 다른 교과서에서 발생하는 상태. $\int f\left(x;\theta\right)\space \mu\left(dx\right)$$\theta_i$

모든 참고 문헌에 액세스 할 수는 없지만 몇 가지 요점에 대해 언급하고 싶습니다.

• 보 로프 코프, 수학 통계 (1998). 피. 140은 또 다른 가정 인 Condition (R)을 제시하며, 이는 상당히 강력합니다. 이 조건은 합니다. 그런 다음 저자는 기본적으로 Fisher 정보 매트릭스 (FIM)의 각 항목이 잘 정의되어 있다고 가정합니다.$E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]<\infty$

• 적분 및 미분 연산자 가정의 이중 미분 및 교환 가능성은 평등 . 이 평등은 종종 도움이되지만 꼭 필요한 것은 아닙니다.$E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]=-E[\partial^2\log f(x;\theta)/\partial\theta^2]$

• FIM이 실제로 존재하는 일부 모델을 폐기하지 않고 FIM의 존재에 대한 일반적인 조건을 설정하는 것은 어렵습니다. 예를 들어, 차별화 조건은 FIM의 존재에 필요한 조건이 아닙니다. 이에 대한 예는 이중 지수 또는 라플라스 모델입니다. 해당 FIM은 잘 정의되어 있지만 밀도는 모드에서 이중적으로 구별 할 수 없습니다. 이중으로 차별화 할 수있는 일부 다른 모델은 FIM의 작동이 불량하고 추가 조건 이 필요합니다 ( 이 백서 참조 ).

매우 일반적인 충분한 조건을 제시하는 것이 가능하지만 너무 엄격 할 수 있습니다. FIM의 존재에 필요한 조건은 완전히 연구되지 않았습니다. 그러면 첫 번째 질문에 대한 답이 간단하지 않을 수 있습니다.