다변량 표준 정규 분포와 가우스 copula의 차이점

다변량 표준 정규 분포와 Gaussian copula의 차이점은 밀도 함수를 볼 때 나와 동일하게 보이기 때문에 궁금합니다.

내 문제는 Gaussian copula가 도입되거나 Gaussian copula가 생성하는 이점 또는 Gaussian copula가 다변량 표준 정규 함수 자체 일 때 그 우수성이 무엇인지에 대한 이유입니다.

또한 copula에서 확률 적분 변환의 개념은 무엇입니까? 우리는 copula가 균일 한 변수를 가진 함수라는 것을 알고 있습니다. 왜 균일해야합니까? 다변량 정규 분포와 같은 실제 데이터를 사용하고 상관 행렬을 찾지 않는 이유는 무엇입니까? (일반적으로 우리는 두 자산 수익률의 관계를 고려하여 플롯하지만 코 플럼 인 경우 확률을 나타내는 미국을 플롯합니다.)

다른 질문. 또한 MVN의 상관 행렬이 copula와 같은 비모수 적이거나 반모 수적일 수 있는지 의심합니다 (copula 매개 변수의 경우 kendall 's tau 등).

이 분야에 새로 가입 한 이후 도움을 주셔서 감사합니다. (그러나 나는 많은 논문을 읽었으며 이것들은 내가 이해할 수없는 유일한 것입니다)

기술 논문, 특히 웹에서 볼 수있는 기술 논문에 대한 일반적인 규칙 중 하나는 논문 에서 제공되는 통계적 또는 수학적 정의의 신뢰성이 논문 제목에 언급 된 관련없는 비 통계적 주제의 수에 반비례한다는 것입니다. 첫 번째 참조 (질문에 대한 의견)로 제공되는 페이지 제목은 "금융에서 우주론으로 : 대규모 구조의 중심"입니다. "금융"과 "우주론"이 눈에 띄게 나타나면, 이것이 쿨라에 대한 좋은 정보원이 아니라는 것을 확신 할 수 있습니다!

그 대신 주요 정의 를 위해 표준적이고 접근성이 뛰어난 교과서 인 Roger Nelsen 's copulas (Second Edition, 2006)에 대해 살펴 보겠습니다

... 모든 copula는 [닫힌 단위 간격 에서 균일 한 여백을 가진 관절 분포 함수입니다 .$[0,1]]$

[At p. 23, 아래.]

copulae에 대한 통찰력을 얻으려면 책의 첫 번째 정리 인 Sklar 's Theorem을 참조하십시오 .

가 여백 와 가있는 공동 분포 함수라고 합시다 . 그런 다음 [확장 실수]의 모든 에 대해 되도록 copula 가 있습니다F G C x , y H ( x , y ) = C ( F ( x ) , G ( y ) ) $H$$F$$G$$C$$x,y$

$$H(x,y) = C(F(x),G(y)).$$

[pp. 18 및 21에 명시되어 있음]

Nelsen은 그것을 그렇게 부르지 않지만 가우시안 copula 를 예제로 정의합니다 .

... 가 표준 (단 변량) 정규 분포 함수를 나타내고 가 표준 이변 량 정규 분포 함수 (Pearson의 곱-모멘트 상관 계수 )를 나타내는 경우 ...N ρ ρ C ( u , v ) = $\Phi$$N_\rho$$\rho$

$$C(u,v) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}(u)}\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}(v)}\exp\left[\frac{-\left(s^2-2\rho s t + t^2\right)}{2\left(1-\rho^2\right)}\right]dsdt$$

[p. 23, 식 2.3.6]. 표기법에서이 실제로 가 이변 량 정규일 때 대한 합동 분포 임을 알 수 있습니다. 우리는 이제 돌아서있다 새로운 변량 분포 만드는 임의의 (연속) 한계 분포를 갖는 와 이되는 단지 이러한 발생 교체함으로써, 접합부 인 하여 및 : 받아 이 특히 특성화에 위의 copulas.$C$$(u,v)$$(\Phi^{-1}(u), \Phi^{-1}(v))$$F$$G$$C$$\Phi$$F$$G$$C$

그래서 예 현저 변량 정규 분포에 대한 수식 등이 보이는, 그 때문 이다 변환 된 변수에 대한 정상 이변 . 이러한 변환은 와 가 이미 (단 변량) 정규 CDF 자체가 아닐 때마다 비선형 적이므로 결과 분포는 (이 경우) 이변 량 정규가 아닙니다.$(\Phi^{-1}(F(x)),\Phi^{-1}(G(y)))$$F$$G$

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예

$F$$(4,2)$$X$$G$$(2)$$Y$$H$$F$$G$$x$$y$

$0\le x \le 1$$0 \le y$

대칭성의 결여는 명백히 비정규 (정상 마진이 없음)이되지만 그럼에도 불구하고 구성에 의해 가우시안 구리가 있습니다. FWIW 그것은 수식을 가지고 있으며 추악하고 명백히 이변 량이 아닙니다.

$$\frac{1}{\sqrt{3}}2 \left(20 (1-x) x^3\right) \left(e^{-y} y\right) \exp \left(w(x,y)\right)$$

$w(x,y)$

$$\text{erfc}^{-1}\left(2 (Q(2,0,y))^2-\frac{2}{3} \left(\sqrt{2} \text{erfc}^{-1}(2 (Q(2,0,y)))-\frac{\text{erfc}^{-1}(2 (I_x(4,2)))}{\sqrt{2}}\right)^2\right).$$

$Q$$I_x$