정사각형이 아닌 통합 가능 기능을위한 Monte Carlo 통합

더 적절한 포럼으로 자유롭게 이동하지 않더라도 질문하기에 좋은 장소가되기를 바랍니다.

나는 Monte Carlo Integration으로 비 정사각형 통합 가능 함수 를 처리하는 방법을 꽤 오랫동안 궁금해했습니다 . MC가 여전히 적절한 추정치를 제공하지만 이러한 종류의 기능에 대해서는 오류가 돌이킬 수 없습니다 (발산?).

우리를 한 차원으로 제한합시다. 몬테카를로 통합은

I = \int_{0}^{1} d x f (x)

$I = \int_0^1 \mathrm{d}x \, f(x)$

견적을 사용하여

E = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} f (x_{i})

$E = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N f(x_i)$

와 $x_i \in [0,1]$ 균일하게 분포 된 랜덤 포인트. 많은 수의 법칙은 $E \approx I$ 입니다. 표본 분산

S^{2} = \frac{1}{N - 1} \sum_{i = 1}^{N} (f (x_{i}) - E)^{2}

$S^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (f (x_i) - E)^2$

에 의해 유도 된 분포 의 분산 $\sigma^2$ 를 근사합니다 . 그러나 가 제곱 적분이 아닌 경우 , 즉 제곱 함수의 적분이 갈라지면 이는 암시합니다. $f$ $f$

σ^{2} = \int_{0}^{1} d x {(f (x) - I)}^{2} = \int_{0}^{1} d x f^{2} (x) - I^{2} ⟶ \infty

$\sigma^2 = \int_0^1 \mathrm{d} x \, \left( f(x) - I \right)^2 = \int_0^1 \mathrm{d} x \, f^2(x) - I^2 \longrightarrow \infty$

또한 분산이 분산됨을 의미합니다.

간단한 예는 함수입니다

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

있는 및 입니다. $I = \int_0^1 \mathrm{d}x \, \frac{1}{\sqrt{x}} = 2$ $\sigma^2 = \int_0^1 \mathrm{d}x \, \left( \frac{1}{x} - 2 \right) = \left[ \ln x - 2x \right]_0^1 \rightarrow \infty$

경우 유한 한 평균의 오차에 근사 할 수있다 의해 , 그러나 만약 제곱 적분이 아닌가? $\sigma^2$ $E$ $\frac{S}{\sqrt{N}} \approx \frac{\sigma}{\sqrt{N}}$ $f(x)$

monte-carlo numerical-integration

— cschwan
소스

나는 그것을 얻지 못합니다 : 당신은 중 어느 것도 분산을 가지고 있지 점에서 시작 하여 평균의 분산이 존재하지 않는 분산의 합리적인 추정기인지 묻습니다! 아니면이 질문을 잘못 읽었을 것입니다. 아마도 "통계적으로 독립적 인 추정" 에 의해 적분을 생각하는 다른 (아마도 강력한) 추정기가 있습니까?

E_{i}

$E_i$

— whuber

나는 에 분산 이 없다고 말하지 않았고 의해 분산을 정의 할 수 없다고 만했습니다 . 따라서 문제는 내가 오류 를 전혀 정의 할 수 있는지 여부 와 가 합리적인 후보인지 여부입니다. 통계적으로 독립한다는 것은 가 다른 난수를 사용하여, 예를 들어 다른 시드 난수 생성기를 사용하여 는 것을 의미합니다 .

E

$E$

S^{2}

$S^2$

{\bar{S}}^{2}

$\bar{S}^2$

E_{i}

$E_i$

— cschwan

" 의해 분산을 정의 할 수 없음"이라는 의미를 설명하십시오 . 분산 및 의 표준 정의를 사용하여이를 이해할 수 없습니다 .

S^{2}

$S^2$

S^{2}

$S^2$

— whuber

글쎄, 함수는 제곱 적분이 아니므로 실수하지 않으면 가 분기 되어야합니다 . 이 경우 대한 정의 가 처음에는 의미가 없습니다. 그러나 중앙 한계 정리 를 통해 는 여전히 적분의 실제 값으로 수렴하지만 오류가 없으면이 값만으로는 의미가 없습니다 (이 결과가 '좋은'이유는 무엇입니까?).

S^{2}

$S^2$

S^{2}

$S^2$

E

$E$

— cschwan 2016 년

죄송합니다. 물론 CLT가 아니라 "많은 수의 법칙"을 말하려고했습니다.

— cschwan 2016 년

꼬리 무증상 및 제곱 적분의 영향을받지 않는 interquantile range와 같은 다른 스케일 / 분산 측정을 사용할 수 있습니다. 어쨌든 그들은 일반적으로 더 강력하다는 추가 된 이점으로.

분명히 평균화하기 전에 함수의 MC 샘플링에서 얻은 원시 출력뿐만 아니라 리샘플링 / 부트 스트랩 다음에 평균 추정기에 적용해야합니다. 또한 일반적인 L 추정기에서이 두 단계를 하나의 성능으로 병합하도록 조정할 수 있지만 추정기 PDF가 자연스럽게 일부 특성을 상속하더라도 (두 개의 사각형이 포함 된 경우에도) 두 가지 분포를 혼동하지 않아야합니다. 통합 성).

— 석영
소스

+1, 나는 많은 수의 법칙이 두 번째 순간을 필요로하지 않는다는 것을 덧붙여 야하므로 이것은 완전히 좋은 조언입니다.

— mpiktas

답변 주셔서 감사합니다! 나는 처음으로 그 용어들을 읽었 음을 인정해야하지만, WP에서 그 용어들을 살펴보면 당신의 대답이 올바른 방향으로 나를 가리 킵니다. 당신이나 다른 누군가가 주제를 더 자세히 설명하는 기사 나 책을 제안 할 수 있습니까?

— cschwan

내 대답이 약간 불분명했음을 알았습니다. 시뮬레이션 중이므로 실제로 리샘플링 / 부트 스트랩 이 필요 하지 않으므로 이론적으로 새 샘플을 더 추가하고 평균 추정기의 경험적 분포를 얻을 수 있습니다. 자원이 중요한 경우에만 부분 평균을 미리 계산하고 다시 샘플링 할 수 있지만 통계가 제대로 이루어지면 사소하지 않습니다. 나는 boostrap 전문가가 아니므로 다른 사람들에게 그 조언을 남길 것입니다. 직선적 인 공식을 뛰어 넘을 필요가 있다면 지적하고 싶었습니다. 먼저 분산 측정에 집중하고 나중에 최적화하십시오.

— Quartz

제안 된 평균 추정값에는 유한 분산이 없습니다. 샘플을 더 추가해도 상관 없습니다. 추정기의 경험적 분포는 또한 무한한 분산을 갖습니다. 몇 가지 시뮬레이션으로이를 확인할 수 있습니다.

— rajb245

실제로, 그것이 논의되고있는 것과 또 다른 분산 측정을 사용해야하는 이유입니다.

— Quartz