공분산 행렬에 대한 메트릭 : 단점 및 장점

공분산 행렬에 대한 "최상의"메트릭은 무엇이며 그 이유는 무엇입니까? Frobenius & c가 적절하지 않으며 각도 매개 변수화에도 문제가 있음이 분명합니다. 직관적 으로이 두 가지 사이의 타협을 원할 수도 있지만 명심해야 할 다른 측면과 잘 확립 된 표준이 있는지 알고 싶습니다.

공통 메트릭에는 공분산 행렬이 자연스럽지 않기 때문에 여러 가지 단점이 있습니다. -중간 회전은 구성 요소 평균보다 낮은 거리를 갖도록합니다. 및 Frobenius 의 경우에는 않습니다 . 여기서 수정하십시오. 또한 볼록 함이 항상 보장되는 것은 아닙니다. "좋은"메트릭으로 해결 된 이러한 문제와 다른 문제를 보는 것이 좋습니다.$L_1$

다음 은 네트워크 최적화 와 컴퓨터 비전 의 일부 문제에 대한 좋은 토론입니다 . 그리고 다른 질문 이 있지만 토론하지 않는 비슷한 질문 이 있습니다.

공분산 행렬을 분석 할 수있는 좋은 지표 나 '최상의 방법'은 없다고 생각합니다. 분석은 항상 목표에 맞춰져야합니다. C가 공분산 행렬이라고 가정 해 봅시다. 대각선은 각 계산 된 매개 변수에 대한 분산을 포함합니다. 따라서 매개 변수의 중요성에 관심이 있다면 trace (C)는 전반적인 성능이므로 좋은 시작입니다.

매개 변수와 그 의미를 플롯하면 다음과 같이 보일 수 있습니다.

x1 =  1.0 ±  0.1 
x2 = 10.0 ±  5.0
x3 =  5.0 ± 15.0 <-- non-significant parameter

상호 상관 관계에 관심이 있다면 그러한 테이블이 흥미로운 것을 얻을 수 있습니다.

x1  1.0
x2  0.9  1.0
x3 -0.3 -0.1  1.0
    x1    x2   x3

각 요소는 매개 변수 xi와 xj 사이의 상관 계수입니다. 이 예에서 매개 변수 x1과 x2는 서로 밀접하게 관련되어 있습니다.

흥미로운 질문입니다. 현재 같은 문제로 어려움을 겪고 있습니다. 그것은 '최고'를 어떻게 정의 하느냐에 달려 있습니다. 즉, 스프레드 또는 데이터 간의 상관 관계 등의 평균 단일 값을 찾고 있습니까? Press, SJ (1972) : Applied Multivariate Analysis, p. 공분산 행렬의 결정 인자로 정의 된 일반화 된 분산은 산포에 대한 단일 측정 값으로 유용합니다. 그러나 그것이 당신과의 상관 관계라면, 나는 더 생각해야 할 것입니다. 알려주세요.